{"id":2228,"date":"2026-07-20T16:40:21","date_gmt":"2026-07-20T14:40:21","guid":{"rendered":"https:\/\/www.scienzaefilosofia.com\/new\/?p=2228"},"modified":"2026-07-20T16:41:26","modified_gmt":"2026-07-20T14:41:26","slug":"la-matematica-come-fede-e-strumento","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.scienzaefilosofia.com\/new\/2026\/07\/20\/la-matematica-come-fede-e-strumento\/","title":{"rendered":"LA MATEMATICA COME FEDE E STRUMENTO"},"content":{"rendered":"\n

1. Numero, ordine e principio<\/em><\/p>\n\n\n\n

Il linguaggio indica originariamente il numero come ci\u00f2 che spartisce, ordina e colloca ogni cosa al posto che ad essa spetta. Nel greco \u1f00\u03c1\u03b9\u03b8\u03bc\u03cc\u03c2 si intravede la presenza del \u1fe5\u03c5\u03b8\u03bc\u03cc\u03c2, il \u201cmovimento regolare\u201d; il prefisso \u1f00\u03c1\u03b9- indica la forza, la superiorit\u00e0 (\u1f00\u03c1\u03b5\u03af\u03c9\u03bd, donde \u1f00\u03c1\u03b5\u03c4\u03ae, ma anche \u1f00\u03c1\u03af\u03b4\u03b7\u03bb\u03bf\u03c2), per cui il numero \u00e8 ci\u00f2 che consente di domare il fluire cadenzato ordinandolo e nominandolo. La base del controllo \u2013 almeno linguistico \u2013 del ritmo, dunque la base del numerare, \u00e8 l\u2019apparire originario del fluire vitale del mondo, che \u00e8 appunto \u1fe5\u03c5\u03b8\u03bc\u03cc\u03c2, uno scorrere (\u1fe5\u03ad\u03c9) ordinato, come il ciclo dell\u2019alternarsi della notte e del d\u00ec, il susseguirsi delle stagioni, il battito cardiaco. Se si guarda al termine numerus<\/em>, si risale alla stessa intenzione di autorit\u00e0 ordinatrice e distributrice. Il verbo \u03bd\u03ad\u03bc\u03c9 (da cui numerus<\/em>) \u00e8 appunto \u201cdistribuire\u201d, \u201cassegnare\u201d, donde il \u03bd\u03bf\u03bc\u03b5\u03cd\u03c2 \u00e8 il \u201cdistributore\u201d (anche \u201cpastore\u201d), il \u03bd\u03bf\u03bc\u03cc\u03c2 \u00e8 la divisione territoriale (\u201cpascolo\u201d: parte di terra che spetta a ciascun pastore) e in generale la \u03bd\u03ad\u03bc\u03b5\u03c3\u03b9\u03c2 \u00e8 la giustizia distributiva: ci\u00f2 che si compie nell\u2019atto descritto da \u03bd\u03ad\u03bc\u03c9 \u00e8 il \u03bd\u03cc\u03bc\u03bf\u03c2, \u201cci\u00f2 che \u00e8 assegnato a ciascuno\u201d. L\u2019inscindibilit\u00e0 arcaico-primordiale tra numero e figura geometrica rappresenta proprio il riferimento alla misurazione del mondo e dello spazio: il sapere del numero \u00e8 sapere della misurazione e della grandezza, l\u2019\u1f00\u03c1\u03b9\u03b8\u03bc\u03b7\u03c4\u03b9\u03ba\u1f74 \u03c4\u03ad\u03c7\u03bd\u03b7 \u00e8 inscindibile dalla \u03b3\u03b5\u03c9\u03bc\u03b5\u03c4\u03c1\u03b9\u03ba\u1f74 \u03c4\u03ad\u03c7\u03bd\u03b7.<\/p>\n\n\n\n

Per le scienze storiografiche, l\u2019arte dei numeri accompagna l\u2019uomo fin dalla preistoria. Dall\u2019India all\u2019Egitto, le conoscenze relative alle misurazioni geometriche e ai calcoli numerici sono inserite all\u2019interno di un contesto mitologico onnicomprensivo, una delle forme in cui il divino si relaziona all\u2019umano, in quanto ogni opera pratica \u2013 dalla divisione delle terre alla costruzione di edifici, fino allo scambio di merci e al commercio \u2013 \u00e8 inquadrata nella sfera del sacro, partecipazione da parte dell\u2019uomo all\u2019ordine divino del mondo; il numero \u00e8 uno dei modi con cui l\u2019uomo arcaico si fa carico di chiamare e ordinare tale ordine spazio-temporale.   <\/p>\n\n\n\n

I primi filosofi greci iniziano a concepire il numero (e dunque le grandezze geometriche ad esso collegate) diversamente rispetto agli altri popoli. Nel libro I della Metafisica<\/em> si legge che i pitagorici <\/p>\n\n\n\n

intesero che i numeri fossero i princ\u00ecpi primi di tutto l\u2019essere [\u03c0\u03ac\u03c3\u03b7\u03c2 \u03c4\u1fc6\u03c2 \u03c6\u03cd\u03c3\u03b5\u03c9\u03c2], e che gli elementi che accomunavano i numeri [\u03c4\u1f70 \u03c4\u1ff6\u03bd \u1f00\u03c1\u03b9\u03b8\u03bc\u1ff6\u03bd \u03c3\u03c4\u03bf\u03b9\u03c7\u03b5\u1fd6\u03b1] fossero gli elementi che accomunano tutti gli enti [\u03c4\u1ff6\u03bd \u1f44\u03bd\u03c4\u03c9\u03bd \u03c3\u03c4\u03bf\u03b9\u03c7\u03b5\u1fd6\u03b1 \u03c0\u03ac\u03bd\u03c4\u03c9\u03bd], e che il cielo intero fosse armonia e numero; e quante concordanze avevano nei numeri e nelle armonie, essi le adattarono ai fenomeni e alle parti del cielo e all\u2019intero ordinamento del tutto [\u03c4\u1f74\u03bd \u1f45\u03bb\u03b7\u03bd \u03b4\u03b9\u03b1\u03ba\u03cc\u03c3\u03bc\u03b7\u03c3\u03b9\u03bd], mettendo queste cose insieme fra loro.<\/p>\n\n\n\n

I primi filosofi greci si distaccano radicalmente poich\u00e9 guardano direttamente \u00abl\u2019intero ordinamento del tutto\u00bb, \u00abtutto l\u2019essere [\u03c0\u03ac\u03c3\u03b7\u03c2 \u03c4\u1fc6\u03c2 \u03c6\u03cd\u03c3\u03b5\u03c9\u03c2]\u00bb. Una delle caratteristiche principali che differenzia l\u2019atteggiamento filosofico da quello mitologico \u00e8 appunto la posizione autentica del tema ontologico, l\u2019opposizione tra essere e nulla \u2013 divenuta pienamente esplicita solo con l\u2019eleatismo, ma implicita dapprincipio \u2013, dove quest\u2019ultimo \u00e8 pensato per la prima volta come nihil absolutum<\/em>, estrema contrapposizione a tutto ci\u00f2 che \u00e8, ossia alla totalit\u00e0 del tutto.<\/p>\n\n\n\n

Ebbene, la ricerca di un\u2019\u1f00\u03c1\u03c7\u03ae e di uno \u03c3\u03c4\u03bf\u03b9\u03c7\u03b5\u1fd6\u03bf\u03bd di tutto ci\u00f2 che \u00e8, che caratterizza gli albori della filosofia, spinge i pitagorici a considerare proprio il numero come principio, se si vuole: fondamento. Si dovr\u00e0 tornare su questo termine, ma per ora basti considerare che esso \u00e8 l\u2019originario, il principio, in quanto non pu\u00f2 esser principiato da alcunch\u00e9 (altrimenti sarebbe un fondato), e al contempo \u00e8 ci\u00f2 che accomuna le differenze del mondo, essendo l\u2019origine del tutto ci\u00f2 che esplicita il senso dell\u2019esser parte del tutto da parte di ogni parte \u2013 tanto che la convergenza di principio e fondamento si delinea proprio nel solco dell\u2019originariet\u00e0 assoluta di questo. Pertanto, se ogni cosa che rientra nell\u2019Intero \u00e8 appunto \u201cuna cosa\u201d, l\u2019unit\u00e0, l\u2019essere \u201cuno\u201d da parte di ogni cosa, \u00e8 ci\u00f2 che accomuna ogni parte del tutto, s\u00ec che l\u2019uno \u00e8 il comune (\u03c3\u03c4\u03bf\u03b9\u03c7\u03b5\u1fd6\u03bf\u03bd), nonch\u00e9 principio (\u1f00\u03c1\u03c7\u03ae), poich\u00e9 la diversificazione della moltitudine di unit\u00e0 \u00e8 origine delle relazioni tra queste (\u03bb\u03cc\u03b3\u03bf\u03b9, appunto, \u201crapporti\u201d) e dell\u2019opposizione (il \u201cdue\u201d esprime l\u2019opposizione di due unit\u00e0, dunque potenzialmente l\u2019opposizione in termini generali). Pitagora e i suoi seguaci vollero cos\u00ec risolvere l\u2019indeterminatezza dell\u2019\u1f04\u03c0\u03b5\u03b9\u03c1\u03bf\u03bd anassimandreo \u2013 salvo poi essere inverati da Parmenide, affermando che l\u2019esser unit\u00e0 da parte di ogni cosa nasconde il vero \u1f00\u03c1\u03c7\u03ae-\u03c3\u03c4\u03bf\u03b9\u03c7\u03b5\u1fd6\u03bf\u03bd, che \u00e8 appunto l\u2019esser qualcosa piuttosto che nulla, l\u2019essere piuttosto che il non essere (a tal punto che Parmenide ne rimase abbagliato: solo all\u2019essere spetta l\u2019essere). E non poteva essere altrimenti, essendo i numeri s\u00ec intendibili come rappresentazione del comune (unit\u00e0) e del principio (dualit\u00e0: opposizione), ma implicitamente risultando essere ancora determinazioni tra le determinazioni (il numero \u00e8 un qualcosa, non \u00e8 un nulla: l\u2019opposizione si pu\u00f2 esprimere<\/em> come \u03bb\u03cc\u03b3\u03bf\u03c2 numerico, ma questo non esplicita la struttura di quella), e quindi differenze tra le differenze, ma il fondamento non pu\u00f2 esser soltanto<\/em> una parte tra le parti, essendo ci\u00f2 per cui si afferma che una parte \u00e8 parte. Ovvero: il rapporto numerico pu\u00f2 essere un modo di identificare l\u2019opposizione, ma non esaurisce estrinsecamente il significato di questa. <\/p>\n\n\n\n

2. Astrazione e fenomenologia dell\u2019assiomatizzazione<\/em><\/p>\n\n\n\n

La base spaziale \u00e8 dunque imprescindibile per il concetto primordiale di \u201cnumero\u201d. Per esso si deve dunque intendere, almeno preliminarmente \u2013 nello specifico, almeno in relazione alla classe N dei numeri naturali \u2013, e seguendo l\u2019approccio insiemistico cantoriano, quel concetto astratto in grado di accomunare biunivocamente elementi di diversi insiemi (anche per Courant e Robbins i numeri sono \u00abcreati dalla mente umana per contare gli oggetti di vari insiemi\u00bb e non presentano \u00abalcun riferimento alle caratteristiche individuali degli oggetti contati\u00bb; la considerazione del numero come concetto primitivo non appare come accettabile, e questo inizia esplicitamente a porre il problema del fondamento nel discorso matematico). A rigore, il significato \u201castratto\u201d sopra riportato va inteso etimologicamente come \u201cdistaccato\u201d, ossia separato dai singoli oggetti specifici effettivamente contati o misurati a cui \u00e8 originariamente riferito. L\u2019astrazione che connota il numero \u00e8 a sua volta la base della matematica, se per essa si intende l\u2019esposizione dell\u2019orizzonte posizionale della trasformazione numerica, ovverosia l\u2019esposizione della dimensione che comprende la posizione dei significati (= cose significanti = determinazioni = enti generaliter<\/em>) in cui consistono sia il numero sia le sue possibili trasformazioni sulla base dell\u2019adozione di determinate regole. Solo l\u2019esser astratto da parte del numero consente di trattarlo come entit\u00e0 manipolabile attraverso l\u2019uso di alcune regole di trasformazione, tra cui le principali riguardanti l\u2019aritmetica, ossia somma e prodotto, con le relative inverse, differenza e rapporto. La creazione stessa di nuove classi numeriche, che possono anche distaccarsi dal concetto primordiale di numero, \u00e8 derivabile dalla trasformazione: se in N non sono possibili le trasformazioni a-b e a\/b per ogni numero a,b\u2208N, la creazione di numeri interi negativi e dei razionali risolve tali problematiche; oppure, si guardi all\u2019introduzione della classe C dei numeri complessi introdotta per la risoluzione di equazioni di terzo grado. Se gli interi negativi e i razionali possono avere ancora un\u2019intuizione sensibile (per esempio, rispettivamente, nel conto dei debiti e nella misurazione), essa inizia a vacillare gi\u00e0 con i numeri irrazionali (che emergono gi\u00e0 nella geometria greca, ad esempio nella definizione di ) e, a maggior ragione, con i complessi. Qui non si sta affermando che l\u2019utilizzo di queste classi numeriche non abbia dimostrato avere una potente applicazione sul mondo da cui esse originariamente si sono astratte (il linguaggio della matematica \u00e8 il linguaggio della fisica, della chimica, della statistica), ma ci\u00f2 dipende dalla constatazione<\/em> che questo particolare linguaggio numerico sia in grado di mostrare un certo potere trasformativo sul mondo (s\u00ec che quest\u2019ultima trasformazione \u00e8 subordinata rispetto alle regole di trasformazione matematica di cui qui si sta discorrendo), constatazione sulla quale si torner\u00e0 nel corso di questo lavoro. L\u2019astrazione originaria su cui si struttura il numero (l\u2019isolamento del numero da ci\u00f2 di cui esso \u00e8 segno nell\u2019\u201cintuizione sensibile\u201d) \u00e8 ci\u00f2 che consente alla matematica di sorgere, tanto che essa pu\u00f2 tranquillamente ignorare \u2013 per il suo funzionamento interno \u2013 l\u2019essenza di questo passo preliminare (\u00abfortunatamente il matematico, come tale, non ha bisogno di interessarsi della natura filosofica del passaggio da insiemi di oggetti concreti al concetto astratto di numero. Accetteremo perci\u00f2 i numeri naturali come dati, assieme alle due operazioni fondamentali, addizione e moltiplicazione, con cui si possono combinare\u00bb), tanto che l\u2019origine primordiale del concetto di numero pu\u00f2 essere del tutto tralasciata nell\u2019analisi del sapere matematico per il suo puro funzionamento. <\/p>\n\n\n\n

Si diceva, la trasformabilit\u00e0 numerica espressa dalla matematica si fonda sull\u2019astrattezza del numero: <\/p>\n\n\n\n

l\u2019agire calcolante che produce l\u2019\u201cesser uno\u201d, lo isola e separa: non \u00e8 un semplice distinguere l\u2019\u201cesser uno\u201d dagli altri aspetti dell\u2019ente che \u00e8 uno, ma \u00e8 un isolare e separare, perch\u00e9 il sapere matematico si propone di non far intervenire in alcun modo nel proprio calcolo alcun aspetto della dimensione da cui tale sapere si \u00e8 separato, s\u00ec che rispetto al calcolo tale dimensione \u00e8 intesa come totalmente ininfluente: come se non ci fosse, cio\u00e8 come nulla; e questo modo di intendere non \u00e8 un distinguere, ma \u00e8 un separare, giacch\u00e9 [\u2026] il distinguere, come tale, non esclude le relazioni che sussistono tra i distinti e la loro influenza reciproca. [\u2026] Peraltro, la matematica \u2013 che non pu\u00f2 sapere di essere isolamento dell\u2019\u201cesser uno\u201d, fondato sull\u2019isolamento delle determinazioni dal loro esser ente [\u2026] \u2013 produce e si tiene dinanzi \u201cquesto uno\u201d, solo in quanto, da un lato, produce gli altri numeri (\u201cquest\u2019altro uno\u201d, e \u201cquest\u2019altro ancora\u201d, e ancora altri \u201cquest\u2019altro\u201d, ognuno dei quali \u00e8 un \u201cquesto uno\u201d \u2013 e poi tutte le altre specie di numero) e, dall\u2019altro, in quanto \u201copera\u201d in vari modi su questa molteplicit\u00e0 di unit\u00e0, trasformandola.<\/p>\n\n\n\n

Le regole secondo le quali questa trasformazione avviene sono le cosiddette operazioni fondamentali, che per l\u2019aritmetica sono appunto la somma e il prodotto. Esse sono leggi poste, ovvero definite, che hanno particolari propriet\u00e0 in base alle caratteristiche intrinseche che vengono associate al numero come oggetto della trasformazione. Per esempio, nell\u2019assiomatizzazione di Peano, che definisce la classe N-0 basandosi sui concetti primitivi di numero, funzione successore e 1 (ferma restando la loro estensione alla classe N che include 0, dove dunque 0 \u00e8 il terzo concetto primitivo), la somma e il prodotto di numeri naturali vengono definite in un certo modo e hanno certe propriet\u00e0 (commutazione, associazione e distribuzione) proprio in virt\u00f9 di quei particolari assiomi e dei concetti primitivi che li sorreggono. <\/p>\n\n\n\n

Le teorie di Frege e Cantor consentono di risolvere il problema della presenza dei concetti primitivi ricorrendo a un livello inferiore, dando le definizioni di numero naturale e di operazioni fondamentali dell\u2019aritmetica all\u2019infuori di essa. Ma il problema della posizione di concetti primitivi risulta soltanto traslato, ch\u00e9 nella definizione cantoriana di \u201cinsieme\u201d (\u00abogni riunione, M<\/em>, in un tutto, di determinati e ben distinti oggetti m<\/em> della nostra intuizione e del nostro pensiero (i quali vengono chiamati gli \u201celementi\u201d di M<\/em>)\u00bb) si riscontrano daccapo concetti primitivi (\u201criunione\u201d, \u201cintuizione\u201d, \u201cpensiero\u201d, \u201ctutto\u201d, ma a rigore anche \u201coggetti\u201d). Anche il tentativo di ridurre la teoria degli insiemi di Cantor (e quindi, di conseguenza, l\u2019aritmetica) alla logica operato da Russell e Whitehead nei Principia Mathematica<\/em> si imbatte nello stesso problema. Nell\u2019Introduzione del primo volume dell\u2019opera, si legge che \u00abil nostro sistema inizia con le \u201cproposizioni atomiche\u201d. Le accettiamo come datum<\/em>, poich\u00e9 i problemi che emergono relativamente ad esse appartengono alla parte filosofica della logica, e non sono soggetti (a ogni livello di analisi presente) ad una trattazione matematica\u00bb (\u00abour system begins with \u201catomic proposition\u201d. We accept these as a datum, because the problems which arise concerning them belong to the philosophical part of logic, and are not amenable (at any rate at present) to mathematical treatment\u00bb). Le relazioni atomiche costituiscono quindi la base primitiva della costruzione teorica dei Principia<\/em>, spostando nuovamente ad un ulteriore livello il suo scioglimento (per Russell e Whitehead, questo livello \u00e8 la \u00abparte filosofica della logica\u00bb). Ma si potrebbe continuare, riferendoci ad esempio ai Grundlagen der Geometrie<\/em> di Hilbert: nel definire i cinque gruppi di assiomi della geometria (collegamento, ordinamento, congruenza, parallelismo e continuit\u00e0) si costruisce il discorso sulla posizione di tre concetti primitivi (\u00abtre diversi sistemi di oggetti\u00bb), ossia i punti, le rette e i piani, i quali sono tra loro connessi tramite le definizioni assiomatiche. Questa tendenza ad esplicitare il sistema assiomatico di base e i concetti primitivi (questi a volte in maniera implicita, altre in maniera esplicita), risale del resto gi\u00e0 a Euclide (si pensi al concetto primitivo geometrico di \u201cpunto\u201d).    <\/p>\n\n\n\n

Emerge, quantomeno a livello fenomenologico, il costante ricorso da parte della matematica alla posizione di un insieme di concetti primitivi e di assiomi di base per la propria costruzione, e dunque per il suo funzionamento operativo. Il compito che ci prefiggiamo di raggiungere \u00e8 mostrare che questa rilevazione fenomenologica \u00e8 invece una necessit\u00e0, ossia: affinch\u00e9 ci possa essere la matematica intesa come orizzonte posizionale delle trasformazioni numeriche \u00e8 necessario assumere sistemi assiomatici e gruppi di concetti primitivi, s\u00ec che il tema del fondamento della matematica \u00e8 in realt\u00e0 un grande malinteso, se al termine \u201cfondamento\u201d ci si riferisce in termini rigorosi.  <\/p>\n\n\n\n

3. Costruzione: deduzione e contraddizione<\/em><\/p>\n\n\n\n

Esposto quantomeno a livello \u201cfenomenologico\u201d il ricorso della matematica a concetti primitivi e sistemi assiomatici per il suo stesso funzionamento, si deve individuare un ulteriore aspetto cruciale. La costruzione del sapere matematico \u00e8 la costruzione delle regole di trasformazione numeriche, s\u00ec che l\u2019individuazione del modo in cui tale costruzione viene attuata riveste un\u2019importanza strutturale nella vera e propria funzionalit\u00e0 della matematica. Anzi, si pu\u00f2 dire che lo stesso funzionamento della matematica \u00e8 la costruzione del suo sapere, ossia l\u2019enunciazione e l\u2019esecuzione delle regole di trasformazione numerica (Lolli non fatica ad affermare che \u00abla definizione di \u201cteorema\u201d ovviamente \u00e8 la definizione stessa della matematica\u00bb). In altre parole, si sta affermando che l\u2019esposizione analitica dei teoremi non solo \u00e8 la costruzione del sapere matematico, ma \u00e8 il cuore del suo stesso funzionamento: nel calcolo, la trasformazione \u00e8 lecita sotto alcune condizioni, s\u00ec che i teoremi specificano queste e le rendono applicabili. Non solo: si pu\u00f2 affermare che la stessa esecuzione di una trasformazione numerica \u00e8 intrinsecamente l\u2019esposizione di un teorema. Ad esempio, quando nella classe N si afferma che 2+1=3 (un \u201csemplice\u201d calcolo), si sta implicitamente riportando \u2013 esplicitandolo tramite il suo funzionamento \u2013 un teorema che deriva (qualora non si vogliano assumere direttamente i postulati di Peano, il che \u00e8 una conferma ulteriore di quanto si sta affermando) almeno dai seguenti assiomi: a) 1=s(0), b) 2=ss0, c) 3=sss0, d) \u2204x:sx=0, e) x+1=s(x), f) x+0=x, dove s(x), \u201csuccessivo di x\u201d, e 0 sono concetti primitivi. Dagli assiomi a)-f) segue 2+1=3 poich\u00e9 2+1=s2=sss0=3 (da rimarcare che in questo sistema assiomatico specificato l\u2019asserto 2+2 \u00e8 indeterminato, ossia non ha significato).  <\/p>\n\n\n\n

A questo punto ci si soffermi sulla posizione della dipendenza logica tra due momenti, che chiameremo momento \u201cbase\u201d (A<\/em>) e momento \u201cinferito\u201d (B<\/em>), donde l\u2019espressione A\u22a8B \u00e8 da leggere \u201cil momento base A<\/em> implica il momento inferito B<\/em>\u201d (adoperando la simbologia canonica di Frege). Nel nostro esempio precedente, il momento A<\/em> \u00e8 il sistema di assiomi a)-f), mentre il momento B<\/em> \u00e8 2+1=3. \u201cDipendenza logica\u201d vuol qui dire che affermare B<\/em> senza specificare la base A<\/em> \u00e8 insignificante, ossia non \u00e8 univocamente determinabile: senza sapere cosa si intende per \u201c1\u201d, \u201c2\u201d, \u201c3\u201d, \u201c+\u201d, \u201c=\u201d, e senza porre delle relazioni di base tra questi significati \u00e8 impossibile interpretare il semantema 2+1=3. La dipendenza logica qui richiamata \u00e8 estrinsecazione della deduzione, s\u00ec che il momento inferito B<\/em> \u00e8 a rigore un dedotto (s\u00ec che qualsiasi teorema nella forma A\u22a8B \u00e8 enunciabile nella forma \u201cda A<\/em> si deduce B<\/em>\u201d, oppure \u201cA<\/em> implica B<\/em>\u201d). Si noti che qui si sta considerando esclusivamente la correttezza dell\u2019inferenza deduttiva, e non la \u201cveridicit\u00e0\u201d del suo risultato, dimodoch\u00e9 l\u2019interesse primario \u00e8 l\u2019analisi del passaggio da un piano base ad un momento dedotto. Il piano base A<\/em> pu\u00f2 essere sia il sistema di postulati di base (con i relativi concetti primitivi) sia, a sua volta, un momento dedotto, tanto che la forma B\u22a8C, dove B<\/em> \u00e8 un dedotto inferito da un precedente piano base A<\/em>, \u00e8 altres\u00ec possibile. <\/p>\n\n\n\n

Specificati questi aspetti, rimane da chiarire il senso dell\u2019inferenza logica che connette deduttivamente il momento base e il dedotto. Porre il teorema A\u22a8B vuol dire che il momento B<\/em>  non contraddice il momento A<\/em> (ossia, che B\u2260\u00acA), il che equivale ad affermare che, posto A\u22a8B, da A<\/em> non si deduce \u00acB. Difatti, la situazione A\u22a8B=\u00acA implica necessariamente che A \u00e8 autocontraddittorio, ossia autonegantesi (nel caso in cui A<\/em> sia un sistema di postulati, si ha la situazione in cui uno o pi\u00f9 postulati si contraddicono a vicenda: se A<\/em> \u00e8 autocontraddittorio allora A\u22a8\u00acA, in quanto l\u2019unica inferenza deduttiva corretta \u00e8 appunto la rilevazione dell\u2019autocontraddittoriet\u00e0 di A<\/em>). Qualsiasi teorema facente parte del sapere matematico pu\u00f2 essere dimostrato ab absurdo<\/em>, ossia mostrando che, se A\u22a8B, allora \u00acB\u22a8\u00acA (donde si dice che si raggiunge \u201cl\u2019assurdo\u201d, la negazione del momento base, provando il demonstrandum<\/em>). Inoltre, l\u2019asserto logico A\u22a8B vuol dire che il momento base A posto in mancanza della posizione del momento dedotto B presenta una mancanza, o meglio, si pone in quanto astratto, essendo B in sintesi con il momento base (ovvero, porre A senza porre B vuol dire porre A come astratto, e porre B senza porre A vuol dire porre un significato indeterminato, o, che \u00e8 lo stesso, insignificante).<\/p>\n\n\n\n

Precedentemente, si \u00e8 affermato che \u00abnel calcolo, la trasformazione \u00e8 lecita sotto alcune condizioni\u00bb. A questo punto, si pu\u00f2 facilmente notare che questa \u201cliceit\u00e0\u201d sulla quale le trasformazioni matematiche vengono effettuate \u00e8 appunto il non esser contraddittori da parte dei risultati di tali trasformazioni. Una trasformazione \u00e8 lecita (e quindi la si pu\u00f2 costituire e adoperare) se essa non porta ad una contraddizione, ovvero se essa \u00e8 una regola di manipolazione numerica tale per cui il dedotto B non \u00e8 esplicitazione della negazione del suo campo mediazionale <\/em>A. La coerenza della teoria (la sua impossibilit\u00e0 di dedurre dal sistema assiomatico di base un asserto contraddittorio) \u00e8 richiesta \u2013 o meglio: posta<\/em> come necessaria \u2013 in quanto si vuole<\/em> che il risultato della trasformazione numerica sia univocamente determinato. Se non si ponesse la coerenza, allora a partire da un determinato sistema assiomatico si potrebbe dedurre, ad esempio, che 2+1=3 e che 2+1=2, ponendo 3\u22602 come esplicitato. A riguardo, Meschkowski scrive che \u00abci\u00f2 che ad esempio viene premesso come evidente nella logica matematica [\u2026], \u00e8 il fondamento per un procedimento dimostrativo non contraddittorio in s\u00e9. A ci\u00f2 non si pu\u00f2<\/em> rinunciare, se non si vuole che ogni \u201ccomunicazione\u201d divenga priva di senso\u00bb. <\/p>\n\n\n\n

Il riduzionismo della teoria degli insiemi di Cantor, confluito poi nel logicismo di Frege, Russell e Whitehead, ha tentato di strutturare un sistema formale logico-matematico di assiomi da cui era impossibile dedurre contraddizioni (ovvero la situazione A\u22a8B\u2227\u00acB) e che quindi, al contempo, racchiudesse l\u2019intero edificio del sapere matematico, non soltanto gi\u00e0 noto, ma anche futuro. Proprio questi tentativi fallirono dimostrando la possibilit\u00e0 di generare da un processo inferenziale corretto alcuni asserti contraddittori (si pensi ai paradossi di Burali-Forti e di Russell). <\/p>\n\n\n\n

Il problema consisteva nel tentare di dimostrare la coerenza della matematica (almeno limitatamente a metodologie finite), in quanto accettare che la costruzione della trasformazione numerica portasse a delle contraddizioni sarebbe equivalso all\u2019ammissione dell\u2019impossibilit\u00e0 di enunciare asserti significanti nel linguaggio astratto matematico. Nelle parole di Hilbert: \u00abIl presente stato di cose in cui ci siamo imbattuti contro i paradossi \u00e8, dichiaratamente, intollerabile. Si rifletta: le definizioni e i metodi deduttivi che tutti imparano, insegnano e usano nella matematica, il paragone di verit\u00e0 e certezza, portano ad assurdit\u00e0! Se il pensiero matematico fallisce, dove mai possiamo trovare verit\u00e0 e certezza?\u00bb. I teoremi di incompletezza di G\u00f6del \u2013 nella forma ampliata presentata successivamente da Rosser \u2013 si presentano come un passaggio determinante relativamente all\u2019esigenza esplicitata da Hilbert. Il primo teorema afferma che una teoria matematica A<\/em> coerente derivata da un determinato sistema assiomatico e contenente l\u2019aritmetica presenta almeno un asserto indecidibile, ossia che n\u00e9 n\u00e9 la sua negazione \u00ac\u03b2 possono essere provati all\u2019interno delle trasformazioni facenti parte di A<\/em>. Il discorso \u00e8 ricorsivo: qualora si ponesse l\u2019asserto <\/em>indecidibile come nuovo assioma di A<\/em>, il problema si ripropone con un ulteriore asserto indecidibile e cos\u00ec via. Il secondo teorema, quasi un corollario del primo, afferma che la coerenza di una teoria assiomatizzata A<\/em> che contiene l\u2019aritmetica non pu\u00f2 essere provata usando le trasformazioni strutturabili all\u2019interno di A<\/em> stessa. L\u2019interesse da riporre in questi metateoremi risiede nel fatto che essi sanciscono (sia chiaro: sempre in una formalizzazione assiomatica-deduttiva) una sorta di limitazione al processo inferenziale del linguaggio astratto assiomatizzato della matematica, sancendo la possibilit\u00e0 da parte del formalismo assiomatico della matematica di imbattersi in una contraddizione (\u00abil tentativo di Hilbert di dimostrare l\u2019incontraddittoriet\u00e0 del sistema assiomatico in cui viene formalizzata l\u2019aritmetica fallisce di fronte alla dimostrazione di G\u00f6del della impossibilit\u00e0 di operare un controllo siffatto della contraddizione, sulla base delle regole di formazione e trasformazione del sistema\u00bb).    <\/p>\n\n\n\n

4. La matematica come negazione del fondamento (la matematica \u00e8 una fede)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Come si \u00e8 avuto modo di constatare, lo sviluppo della teoria matematica si fonda sull\u2019astrazione e sul funzionamento della procedura assiomatico-deduttiva. Questo era gi\u00e0 noto a Platone. Alla fine del libro VI della Repubblica<\/em>, si legge che <\/p>\n\n\n\n

coloro che si occupano di geometria e di calcoli e di cose simili a queste, avendo presupposto [\u1f51\u03c0\u03bf\u03b8\u03ad\u03bc\u03b5\u03bd\u03bf\u03b9] per ciascuna ricerca il dispari e il pari, le figure geometriche, le tre forme degli angoli e altre cose affini a queste, come se le considerassero evidenti [\u03c4\u03b1\u1fe6\u03c4\u03b1 \u03bc\u1f72\u03bd \u1f61\u03c2 \u03b5\u1f30\u03b4\u03cc\u03c4\u03b5\u03c2], rendendole delle ipotesi [\u1f51\u03c0\u03bf\u03b8\u03ad\u03c3\u03b5\u03b9\u03c2], e inoltre intorno a queste non si degnano di dar alcun genere di spiegazione n\u00e9 a queste n\u00e9 ad altre cose, come fossero assolutamente evidenti, e a partire da queste, esponendo gi\u00e0 tutto il resto, porteranno a compimento senza intoppi ci\u00f2 che dapprima avrebbero voluto dimostrare. <\/p>\n\n\n\n

Il ricorso al riduzionismo \u2013 ossia, la costatazione che un orizzonte semantico possa essere del tutto ricondotto a uno inferiore \u2013 (prima dalla geometria all\u2019analisi infinitesimale, da questa all\u2019aritmetica, e poi infine alla teoria degli insiemi e alla logica) operato nel tentativo di porre una solidit\u00e0 al sapere matematico \u00e8 esso stesso indice della rilevata impossibilit\u00e0 di trovare tale solidit\u00e0. Difatti, il grande tema del fondamento della matematica all\u2019inizio del secolo ventesimo che si costruisce come un\u2019operazione riduzionista culminante nei Principia mathematica<\/em> di Russell e Whitehead, ha in s\u00e9 medesima gi\u00e0 il germe del suo fallimento, non in quanto individuazione particolare dell\u2019atteggiamento riduzionista non avente per ragioni esogene il successo sperato, ma in quanto il riduzionismo tout court<\/em> non pu\u00f2 portare costitutivamente alla definizione del fondamento, poich\u00e9 esso \u00e8 affermazione e al tempo stesso negazione dell\u2019opposizione di due ambiti semantici, e dunque contraddittorio a priori<\/em>. Nella consapevolezza che questo asserto pu\u00f2 essere compreso appieno solo con il prosieguo del presente paragrafo, si evidenzi per maggiore chiarezza che il riduzionismo praticato nella teoria matematica \u2013 poniamo quello logico di Frege e Russell \u2013 soffre degli stessi problemi di cui soffre il riduzionismo biologico o teologico: se (l\u2019aritmetica, la funzione digestiva, il mondo) \u00e8 completamente riducibile a (la logica, l\u2019apparato digerente, Dio), allora non annovererebbe alcuna novit\u00e0 rispetto ad , e non si vede il motivo per cui esso debba costituirsi come un qualcosa di differente rispetto ad : se si pone la differenza tra e , e dunque la si riconosce, allora vi sar\u00e0 necessariamente una parte di che non \u00e8 riducibile ad . Del resto, in questa dinamica riduzionista compiuta dal pensiero matematico, il punto di arresto viene rappresentato dai teoremi di G\u00f6del, la cui struttura non fa altro che confermare il contrario, ovvero la necessit\u00e0 di ricorrere ad un sistema pi\u00f9 ampio per poter dimostrare la completezza di una teoria matematica includente l\u2019aritmetica, e cos\u00ec il processo sopra descritto si sviluppa necessariamente ad indefinitum<\/em>, con l\u2019impossibilit\u00e0 di arrestarsi ad un sistema assiomatico in grado di includere tutto il sapere matematico.<\/p>\n\n\n\n

Ma proprio la natura di questa \u201csolidit\u00e0\u201d di cui si sta parlando deve essere scrutata pi\u00f9 da vicino, ch\u00e9 difatti \u00e8 ci\u00f2 che rappresenta il perno del discorso. Il piano base posto come partenza della costruzione inferenziale-deduttiva del sapere matematico \u00e8 un piano assiomatico, ossia ipotetico. Innanzitutto, \u201cassioma\u201d e \u201cipotesi\u201d sono intesi come equivalenti: non si considera l\u2019ipotesi nel suo significato scientifico (asserto da confermare o refutare attraverso la sperimentazione), in quanto la matematica non \u00e8 scienza \u2013 e non \u00e8 difficile riconoscerlo stando a quanto detto precedentemente. L\u2019ipotesi, per la matematica, \u00e8 dunque il postulato, o l\u2019insieme di postulati, posto come evidente, ossia, ritenuto valido a priori<\/em> (difatti, la struttura del teorema A\u22a8B \u00e8 di per s\u00e9 stessa ipotetica: se<\/em> A, allora B). Tale validit\u00e0 non ha alcun riferimento al mondo sensibile da cui la matematica si \u00e8 primariamente astratta, in quanto il sistema assiomatico deve solo esser tale da fornire delle regole di trasformazione che non conducano alla contraddizione. Il valore del sistema assiomatico \u00e8 dunque un valore puramente arbitrario, voluto: il postulato \u00e8 un asserto che si decide di far valere come anapodittico, ma che non mostra in s\u00e9 la sua anapoditticit\u00e0. E non per un difetto decisionale (si potrebbe obbiettare che scegliendo in una certa maniera un certo sistema di assiomi si potrebbe pervenire a uno ottimale, in grado di imporsi per s\u00e9<\/em> come anapodittico), ma per sua essenza intrinseca.<\/p>\n\n\n\n

L\u2019ipotesi (\u1f51\u03c0\u03cc\u03b8\u03b5\u03c3\u03b9\u03c2), \u201cci\u00f2 che si pone come base\u201d, \u00e8 quindi costitutivamente un assioma (\u1f00\u03be\u03af\u03c9\u03bc\u03b1), qualcosa che \u201csi pone come conveniente\u201d, che \u201csi chiede che abbia valore perch\u00e9 lo si vuole\u201d (postulatum<\/em>):<\/p>\n\n\n\n

Per mezzo di una pura definizione logica del concetto di numero, si volevano creare dei punti di partenza per deduzioni assolutamente rigorose, capaci di ricondurre le verit\u00e0 dell\u2019aritmetica a quelle pi\u00f9 profonde della logica. Orbene, ci\u00f2 che trae in inganno in tutto questo \u00e8 proprio l\u2019espressione \u201cfondare l\u2019aritmetica\u201d: essa ci induce a credere che l\u2019edificio di tale scienza si elevi su qualche gruppo di verit\u00e0 assolute ed eterne, mentre di fatto l\u2019aritmetica \u00e8 un puro e semplice calcolo che proviene esclusivamente da alcune convenzioni, e come il sistema solare n\u00e9 sospeso n\u00e9 fondato su nulla. La conclusione che se ne pu\u00f2 trarre \u00e8 la seguente: noi possiamo descrivere l\u2019aritmetica, cio\u00e8 indagare le sue regole, ma non fondarla. Che, del resto, il metodo di fondare un\u2019idea su di un\u2019altra non possa sempre bastarci, risulta gi\u00e0 da questa semplice considerazione: esso deve pure in qualche punto finire, rimandandoci a qualche idea che non pu\u00f2 a sua volta venir fondata proprio su nulla. L\u2019ultima base \u00e8 costituita unicamente dalla postulazione. Tutto ci\u00f2 che ha l\u2019aspetto di una fondazione<\/em>, contiene gi\u00e0 qualcosa di falso, e non pu\u00f2 accontentarci.<\/p>\n\n\n\n

Si pu\u00f2 concordare, soltanto per\u00f2 relativamente al sapere matematico \u2013 e qualsiasi altro sapere che non sia l\u2019esposizione, appunto, del fondamento \u2013, e non in termini generali (cosa a cui Waismann sembra invece alludere: \u00abtutto ci\u00f2 che ha l\u2019aspetto di una fondazione<\/em>, contiene gi\u00e0 qualcosa di falso\u00bb). La grande discussione degli ultimi due secoli sul fondamento della matematica \u00e8 in realt\u00e0, in termini rigorosi, una contraddizione, quando si debba intendere il termine \u201cfondamento\u201d nella sua pura essenza. Oppure, parlare del \u201cfondamento della matematica\u201d vuol dire riflettere sulla natura di alcune ipotesi scelte come momento base del processo deduttivo, sul campo di estensione della loro validit\u00e0 e sulla loro potenzialit\u00e0 di generare una semantica trasformatrice pi\u00f9 o meno ampia rispetto ad altre, ma allora ci\u00f2 significherebbe aver gi\u00e0 chiaro l\u2019abuso del significato \u201cfondamento\u201d, e la relazione tra questo e la matematica non si pone nemmeno \u2013 o, se si pone, la si pone almeno implicitamente come gi\u00e0 risolta (nel senso che si sta qui per chiarire). Oppure, ancora, tale relazione viene tralasciata poich\u00e9 si reputa che il tema del fondamento autentico sia insussistente o privo di senso; ma la stessa posizione dell\u2019insussistenza del fondamento si rivela insignificante poich\u00e9 espressione triviale dell\u2019argomento scettico (l\u2019asserto \u201cnon esiste fondamento\u201d si erge a sua volta come fondamento, altrimenti riconosce di essere esso stesso un assioma; ma l\u2019insignificanza di tale posizione verr\u00e0 motivata da quanto segue). <\/p>\n\n\n\n

I pitagorici vollero intendere la matematica \u2013 e il numero principalmente \u2013 come fondamento del tutto (\u1f00\u03c1\u03c7\u03ae \u03c0\u03ac\u03c3\u03b7\u03c2 \u03c4\u1fc6\u03c2 \u03c6\u03cd\u03c3\u03b5\u03c9\u03c2), avendo chiaro il senso del fondamento ma non la sua struttura, e ci\u00f2 ha precluso loro la capacit\u00e0 di aver dinanzi l\u2019impossibilit\u00e0 di porre il numero e la sua trasformazione come fondamento. Nel primo paragrafo del seguente saggio per\u00f2 si \u00e8 accennato alla posizione dell\u2019opposizione come connessa al tema del fondamento. Ora si afferma \u2013 per quanto in questa sede si sia in grado di esporre \u2013 che la posizione dell\u2019opposizione \u00e8 il primo certo anapodittico, ovvero: il fondamento (l\u2019immediato, in quanto non mediato da alcunch\u00e9, ma momento base dell\u2019intero edificio gnoseologico-esistenziale) \u00e8 l\u2019apparire (la \u201cposizione\u201d) dell\u2019opposizione tra positivo e negativo, dove per positivo si intende l\u2019essere (tutto l\u2019essere: intero formale e singola determinazione, parte dell\u2019intero) e per negativo il non essere (negativo speciale<\/em> \u2013 non essere relativo \u2013 e negativo generale<\/em> \u2013 nulla, nihil absolutum<\/em>), s\u00ec che il significato dell\u2019opposizione \u00e8 il significato autentico del principio di non contraddizione, inteso dunque non solo come regola del pensare, ma anche come regola immediata ed eterna dell\u2019esistere: \u00ab\u03c4\u1f78 \u03b3\u1f70\u03c1 \u03b1\u1f50\u03c4\u1f78 \u03bd\u03bf\u03b5\u1fd6\u03bd \u1f10\u03c3\u03c4\u03af\u03bd \u03c4\u03b5 \u03ba\u03b1\u1f76 \u03b5\u1f36\u03bd\u03b1\u03b9\u00bb. <\/p>\n\n\n\n

Dell\u2019immediato si predica ci\u00f2 che Aristotele afferma del principio di non contraddizione trattandolo in senso astratto (astratto cio\u00e8 dal semantema concreto \u201capparire immediato dell\u2019opposizione\u201d): esso \u00e8 l\u2019assolutamente necessario, il non ipotetico (\u00ab\u1f00\u03bd\u03c5\u03c0\u03cc\u03b8\u03b5\u03c4\u03bf\u03bd\u00bb, \u00ab\u03c4\u03bf\u1fe6\u03c4\u03bf \u03bf\u1f50\u03c7 \u1f51\u03c0\u03cc\u03b8\u03b5\u03c3\u03b9\u03c2\u00bb), e non perch\u00e9 la sua non-ipoteticit\u00e0 sia posta come voluta<\/em>, ma poich\u00e9 essa stessa si pone da s\u00e9 necessariamente, e non potrebbe essere altrimenti. \u00c8 questo il senso profondo dell\u2019\u1f14\u03bb\u03b5\u03b3\u03c7\u03bf\u03c2 che spetta al fondamento: la negazione esplicita del fondamento \u00e8 la sua accettazione implicita, \u00ab\u1f00\u03bd\u03b1\u03b9\u03c1\u1ff6\u03bd \u03b3\u1f70\u03c1 \u03bb\u03cc\u03b3\u03bf\u03bd \u1f51\u03c0\u03bf\u03bc\u03ad\u03bd\u03b5\u03b9 \u03bb\u03cc\u03b3\u03bf\u03bd\u00bb. Come Severino afferma, <\/p>\n\n\n\n

nel suo manifestarsi, cio\u00e8, l\u2019essere viene incontro dominato dalla legge che lo oppone al non-essere; in ogni<\/em> suo manifestarsi: sia nella verit\u00e0, sia nella non-verit\u00e0 \u2013 e quindi anche in quella forma emergente di non-verit\u00e0, che \u00e8 la negazione esplicita della verit\u00e0. L\u2019opposizione \u00e8 fondamento, nel senso che \u00e8 ci\u00f2 senza di cui non<\/em> si costituirebbe, o esisterebbe alcun pensiero, alcun discorso. Fonda anche la propria negazione: ma, appunto, non nel senso che la faccia essere valida, che ne fondi il valore, bens\u00ec nel senso che se la negazione non ponesse alla propria base l\u2019opposizione (ossia non opponesse la propria positivit\u00e0 significante a ogni altro significare), non esisterebbe nemmeno. Esiste, solo se afferma ci\u00f2 che nega. Negando, quindi, nega il proprio fondamento, nega ci\u00f2 senza di cui non sarebbe (o, che \u00e8 il medesimo, non sarebbe significante): nega se medesima. [\u2026] L\u2019\u1f14\u03bb\u03b5\u03b3\u03c7\u03bf\u03c2 \u00e8 appunto l\u2019accertamento di questo autotoglimento della negazione, ossia \u00e8 l\u2019accertamento che la negazione non esiste come negazione pura<\/em>, ossia come negazione che non abbia bisogno, per costituirsi, di affermare ci\u00f2 che nega. <\/p>\n\n\n\n

Ci\u00f2 che \u00e8 stato qui esposto \u00e8 sufficiente per delineare il risultato che si vuole raggiungere. La matematica non \u00e8 l\u2019esposizione del fondamento nella sua autenticit\u00e0, in quanto essa non \u00e8 posizione dell\u2019apparire immediato dell\u2019opposizione, e dunque gli asserti che competono a tale sapere non sono incontrovertibili, ossia non sono in grado di mostrare che la loro negazione \u00e8 autonegazione (inapplicabilit\u00e0 dell\u2019\u1f14\u03bb\u03b5\u03b3\u03c7\u03bf\u03c2). Intendendo per \u201cverit\u00e0\u201d l\u2019incontrovertibile, ci\u00f2 la cui negazione \u00e8 esplicitamente negazione ma implicitamente affermazione del fondamento, essa non concerne la matematica, poich\u00e9 l\u2019incontrovertibilit\u00e0 si predica necessariamente ed unicamente al fondamento e ai suoi momenti mediati (alle sue implicazioni). <\/p>\n\n\n\n

Andando nel dettaglio di questa rilevazione, si pu\u00f2 quindi affermare che qualsiasi sistema assiomatico scelto come piano base della strutturazione matematica non \u00e8 fondamento, e dunque non pu\u00f2 esibire la propria incontrovertibilit\u00e0, e infine non \u00e8 vero, ma falso, se a quest\u2019ultimo termine si d\u00e0 il senso della controvertibilit\u00e0. Per mostrar questo, si consideri qualsiasi sistema assiomatico e lo si ponga come fondamento al fianco del fondamento come sopra presentato, il quale verr\u00e0 indicato come F, s\u00ec che e F convivono come due fondamenti (dunque: coesistenza di pi\u00f9 fondamenti; l\u2019argomento \u00e8 estendibile ad una serie indefinita ii=1+\u221e di sistemi assiomatici differenti contemporaneamente posta). A questo punto, o \u00e8 F oppure non lo \u00e8, ossia \u00e8 diverso, gli si oppone per una qualsivoglia determinazione, dunque questa diversit\u00e0 \u00e8 appunto un\u2019opposizione, la quale \u00e8 per\u00f2 posta da F stesso. Quindi, si struttura fondandosi su F in quanto diverso da F, ma al contempo \u00e8 un\u2019individuazione particolare della negazione di F, poich\u00e9 essendo diverso da F esso non \u00e8 l\u2019apparire immediato dell\u2019opposizione, e dunque nega F (esplicitamente), ma differenziandosi da F, ossia opponendoglisi, afferma F (implicitamente).  E naturalmente, il ragionamento \u00e8 analogo quando si pone come fondamento al posto di F (\u201cF non \u00e8 fondamento\u201d).  <\/p>\n\n\n\n

Ci\u00f2 non vuol dire che un piano base del tipo diverso da F non comporti un\u2019espansione mediazionale di tipo inferenziale-deduttivo, come si \u00e8 avuto modo di constatare per la matematica. Difatti, la procedura deduttiva rappresenta per s\u00e9<\/em> una coerenza interna che non dipende dall\u2019incontraddittoriet\u00e0, ovvero manifestazione dell\u2019autonegazione della negazione del piano base della mediazione (come si \u00e8 mostrato sinteticamente in precedenza in questo lavoro). Ma ora siamo anche in grado di sciogliere compiutamente questo rapporto tra correttezza e veridicit\u00e0 del processo inferenziale. La deduzione \u00e8 s\u00ec indipendente dalla veridicit\u00e0 del piano base da cui essa prende le mosse, ma se quest\u2019ultimo \u00e8 falso, il momento dedotto sar\u00e0 appunto l\u2019esplicitazione di questa falsit\u00e0, dando al termine \u201cverit\u00e0\u201d ci\u00f2 che in questa sede \u00e8 stato espresso come incontrovertibilit\u00e0. Qualsiasi sistema logico-deduttivo che ponga come piano base originario una struttura diversa dal fondamento F \u00e8 dunque falso, in quanto negante F stesso, e perci\u00f2 \u00e8 \u2013 a rigore \u2013 un sistema logico ipotetico-deduttivo, convenzionale, o se si vuole, fede. Ci\u00f2 implica la sussistenza di due livelli di coerenza: il primo grado \u00e8 la coerenza autenticamente intesa, ossia riferentesi al fondamento F e ai suoi momenti inferiti; il secondo grado identifica una coerenza puramente deduttiva, cio\u00e8 una correttezza del processo deduttivo generato da un sistema assiomatico differente da F. In questo schema appena delineato, una teoria matematica \u00e8 sempre incoerente di primo grado, in quanto non \u00e8 mai per s\u00e9<\/em> posizione del fondamento F, ma pu\u00f2 essere coerente di secondo grado, ossia pu\u00f2 essere un insieme di deduzioni corrette generate da un piano base assiomatico assunto convenzionalmente (e dunque, proprio in quanto assiomatico, di per s\u00e9 stesso sempre incoerente di primo grado: una dimensione posizionale differente da F \u00e8 sempre incoerente di primo grado ma pu\u00f2 essere o meno coerente di secondo grado).  <\/p>\n\n\n\n

Il sapere matematico, come qualsiasi altra struttura semantica differente dalla posizione di F e del suo sviluppo mediazionale, \u00e8 una fede \u2013 dunque un sapere incoerente di primo grado \u2013, non diversa dal punto di vista dell\u2019essenza da quella religiosa (rappresentando le religioni esempi notevoli di queste strutture semantiche). Ci\u00f2 che importa \u00e8 definire \u201cfede\u201d qualsiasi orizzonte posizionale che non \u00e8 in grado costitutivamente di mostrare l\u2019autocontraddittoriet\u00e0 del proprio contraddittorio, e quindi qualsiasi dimensione diversa dal fondamento e dai suoi dedotti. Se gli asserti del sapere matematico sono differenti da quelli, poniamo, del \u03ba\u03ae\u03c1\u03c5\u03b3\u03bc\u03b1 cristiano, questa differenza \u00e8 puramente formale e non essenziale, essendo queste dimensioni semantiche due negazioni particolari e diversamente articolate del fondamento, e dunque due fedi. E questo con buona pace di ampie falde del senso comune che ritengono la matematica (e la scienza pi\u00f9 in generale, come si sta per mostrare) e i saperi religiosi come dimensioni posizionali per essenza differenti, se non diametralmente opposte. Essi, s\u00ec differenziati, sono entrambi negazioni particolari del fondamento, e quindi condividono l\u2019insignificanza che spetta a qualsiasi sapere che non sia l\u2019esplicitazione del fondamento e delle sue implicazioni. <\/p>\n\n\n\n

5. Instrumentum<\/em><\/p>\n\n\n\n

Si ricapitolino i risultati enunciati fino a questo punto. La matematica, intesa come orizzonte delle trasformazioni numeriche, si basa sull\u2019astrazione ed \u00e8 un sapere ipotetico-deduttivo, ossia non \u00e8 posizione del fondamento, e quindi rappresenta una sua negazione particolare. In questo risiede l\u2019esser fede da parte della matematica: non essendo esposizione del fondamento e dei suoi momenti dedotti, essa \u00e8 un orizzonte semantico puramente convenzionale e contraddittorio, dando a quest\u2019ultimo termine il significato che gli spetta nell\u2019analisi del fondamento, ossia incoerenza di primo grado (pur potendo contenere al suo interno orizzonti posizionali coerenti di secondo grado, ossia dedotti correttamente dal sistema assiomatico posto per convenzione come momento base dell\u2019inferenza). L\u2019interrogarsi sul \u201cfondamento della matematica\u201d dunque si riduce alla scelta convenzionale di assiomi e regole pi\u00f9 o meno in grado di consentire una certa espansione internamente coerente di questo sapere astratto.<\/p>\n\n\n\n

Ora, l\u2019insignificanza del sapere matematico non si pone in contrapposizione alla costatazione che tale sapere abbia mostrato una vasta applicazione nella descrizione scientifica del mondo. Ci\u00f2 vuol dire che l\u2019uso della matematica da parte della scienza non \u00e8 un fattore che depone a favore dell\u2019autenticit\u00e0 del sapere matematico, ossia del suo porsi a fondamento. \u00c8 ormai evidente l\u2019uso massiccio della matematica in tutte le specializzazioni del sapere scientifico, dalla fisica alla medicina, dall\u2019economia alle scienze sociali, senza dimenticare la propulsione fondamentale che tale sapere ha impresso per la nascita e lo sviluppo dell\u2019informatica, nonch\u00e9 il vasto impiego nelle applicazioni ingegneristiche. In alcuni casi, l\u2019uso della matematica si \u00e8 mostrato centrale per lo stesso sviluppo scientifico. Si pensi alla fisica: il calcolo infinitesimale ha consentito non solo la trascrizione, ma anche lo stesso avanzamento della meccanica classica a partire da Newton e Eulero; ancora: il calcolo tensoriale sviluppato da Ricci-Curbastro \u00e8 la base dell\u2019elaborazione teorica della relativit\u00e0 generale einsteiniana (nella fisica ormai l\u2019utilizzo della matematica \u00e8 pilastro di ogni branca, e gli esempi si potrebbero moltiplicare). Walras e Pareto, seguiti da Marshall, hanno introdotto la teoria degli insiemi e l\u2019analisi nella descrizione delle teorie dell\u2019equilibrio economico generale, dando inizio ad un larghissimo uso della matematica nella scienza economica (esempi mirabili sono le teorie di ottimizzazione vincolata e la teoria dei giochi). Nelle scienze chimiche e biologiche, la trascrizione matematica \u00e8 divenuta la base dello sviluppo teorico (si pensi alla chimica matematica e alla chimica computazionale). Infine, l\u2019informatica moderna \u00e8 una vera e propria figlia del calcolo matematico, in particolar modo quello binario. <\/p>\n\n\n\n

Non solo: la teoria matematica \u00e8 il pilastro della fase empirica per la corroborazione o falsificazione delle ipotesi nelle scienze empiriche. Tale fase \u00e8 difatti prettamente statistica, il quale impianto teorico \u2013 specialmente riguardo il ramo inferenziale \u2013 ha ottenuto impulso dalla evoluzione della teoria della probabilit\u00e0, che a sua volta \u00e8 dovuta all\u2019adozione della trascrizione matematica (si pensi al lavoro svolto da Bernoulli ne l\u2019Ars Conjectandi<\/em> fino alla teoria assiomatica di Kolmogorov, ma anche agli approcci bayesiani e di De Finetti). <\/p>\n\n\n\n

Alla base di tutto ci\u00f2, vi \u00e8 nuovamente l\u2019astrazione numerica su cui si articola la matematica, astrazione che comporta la possibilit\u00e0 di considerare questo sapere come un vero e proprio linguaggio. Ben noto che per Galilei il \u00ablibro\u00bb dell\u2019\u00abuniverso\u00bb, ossia la natura, \u00ab\u00e8 scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quai mezi \u00e8 impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi \u00e8 un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto\u00bb. Ci\u00f2 che per Galilei appare evidente ed indiscutibile, \u00e8 in realt\u00e0, nuovamente, il frutto di una convenzione: la matematica \u00e8 adottata come linguaggio universale dell\u2019agire scientifico perch\u00e9 emerge la costatazione che, tramite la trasformazione matematica, la possibilit\u00e0 operativa della scienza \u00e8 notevolmente ampliabile. Si analizzi quanto appena detto nei seguenti punti.<\/p>\n\n\n\n