1. Numero, ordine e principio

Il linguaggio indica originariamente il numero come ciò che spartisce, ordina e colloca ogni cosa al posto che ad essa spetta. Nel greco ἀριθμός si intravede la presenza del ῥυθμός, il “movimento regolare”; il prefisso ἀρι- indica la forza, la superiorità (ἀρείων, donde ἀρετή, ma anche ἀρίδηλος), per cui il numero è ciò che consente di domare il fluire cadenzato ordinandolo e nominandolo. La base del controllo – almeno linguistico – del ritmo, dunque la base del numerare, è l’apparire originario del fluire vitale del mondo, che è appunto ῥυθμός, uno scorrere (ῥέω) ordinato, come il ciclo dell’alternarsi della notte e del dì, il susseguirsi delle stagioni, il battito cardiaco. Se si guarda al termine numerus, si risale alla stessa intenzione di autorità ordinatrice e distributrice. Il verbo νέμω (da cui numerus) è appunto “distribuire”, “assegnare”, donde il νομεύς è il “distributore” (anche “pastore”), il νομός è la divisione territoriale (“pascolo”: parte di terra che spetta a ciascun pastore) e in generale la νέμεσις è la giustizia distributiva: ciò che si compie nell’atto descritto da νέμω è il νόμος, “ciò che è assegnato a ciascuno”. L’inscindibilità arcaico-primordiale tra numero e figura geometrica rappresenta proprio il riferimento alla misurazione del mondo e dello spazio: il sapere del numero è sapere della misurazione e della grandezza, l’ἀριθμητικὴ τέχνη è inscindibile dalla γεωμετρικὴ τέχνη.

Per le scienze storiografiche, l’arte dei numeri accompagna l’uomo fin dalla preistoria. Dall’India all’Egitto, le conoscenze relative alle misurazioni geometriche e ai calcoli numerici sono inserite all’interno di un contesto mitologico onnicomprensivo, una delle forme in cui il divino si relaziona all’umano, in quanto ogni opera pratica – dalla divisione delle terre alla costruzione di edifici, fino allo scambio di merci e al commercio – è inquadrata nella sfera del sacro, partecipazione da parte dell’uomo all’ordine divino del mondo; il numero è uno dei modi con cui l’uomo arcaico si fa carico di chiamare e ordinare tale ordine spazio-temporale.   

I primi filosofi greci iniziano a concepire il numero (e dunque le grandezze geometriche ad esso collegate) diversamente rispetto agli altri popoli. Nel libro I della Metafisica si legge che i pitagorici 

intesero che i numeri fossero i princìpi primi di tutto l’essere [πάσης τῆς φύσεως], e che gli elementi che accomunavano i numeri [τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα] fossero gli elementi che accomunano tutti gli enti [τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων], e che il cielo intero fosse armonia e numero; e quante concordanze avevano nei numeri e nelle armonie, essi le adattarono ai fenomeni e alle parti del cielo e all’intero ordinamento del tutto [τὴν ὅλην διακόσμησιν], mettendo queste cose insieme fra loro.

I primi filosofi greci si distaccano radicalmente poiché guardano direttamente «l’intero ordinamento del tutto», «tutto l’essere [πάσης τῆς φύσεως]». Una delle caratteristiche principali che differenzia l’atteggiamento filosofico da quello mitologico è appunto la posizione autentica del tema ontologico, l’opposizione tra essere e nulla – divenuta pienamente esplicita solo con l’eleatismo, ma implicita dapprincipio –, dove quest’ultimo è pensato per la prima volta come nihil absolutum, estrema contrapposizione a tutto ciò che è, ossia alla totalità del tutto.

Ebbene, la ricerca di un’ἀρχή e di uno στοιχεῖον di tutto ciò che è, che caratterizza gli albori della filosofia, spinge i pitagorici a considerare proprio il numero come principio, se si vuole: fondamento. Si dovrà tornare su questo termine, ma per ora basti considerare che esso è l’originario, il principio, in quanto non può esser principiato da alcunché (altrimenti sarebbe un fondato), e al contempo è ciò che accomuna le differenze del mondo, essendo l’origine del tutto ciò che esplicita il senso dell’esser parte del tutto da parte di ogni parte – tanto che la convergenza di principio e fondamento si delinea proprio nel solco dell’originarietà assoluta di questo. Pertanto, se ogni cosa che rientra nell’Intero è appunto “una cosa”, l’unità, l’essere “uno” da parte di ogni cosa, è ciò che accomuna ogni parte del tutto, sì che l’uno è il comune (στοιχεῖον), nonché principio (ἀρχή), poiché la diversificazione della moltitudine di unità è origine delle relazioni tra queste (λόγοι, appunto, “rapporti”) e dell’opposizione (il “due” esprime l’opposizione di due unità, dunque potenzialmente l’opposizione in termini generali). Pitagora e i suoi seguaci vollero così risolvere l’indeterminatezza dell’ἄπειρον anassimandreo – salvo poi essere inverati da Parmenide, affermando che l’esser unità da parte di ogni cosa nasconde il vero ἀρχή-στοιχεῖον, che è appunto l’esser qualcosa piuttosto che nulla, l’essere piuttosto che il non essere (a tal punto che Parmenide ne rimase abbagliato: solo all’essere spetta l’essere). E non poteva essere altrimenti, essendo i numeri sì intendibili come rappresentazione del comune (unità) e del principio (dualità: opposizione), ma implicitamente risultando essere ancora determinazioni tra le determinazioni (il numero è un qualcosa, non è un nulla: l’opposizione si può esprimere come λόγος numerico, ma questo non esplicita la struttura di quella), e quindi differenze tra le differenze, ma il fondamento non può esser soltanto una parte tra le parti, essendo ciò per cui si afferma che una parte è parte. Ovvero: il rapporto numerico può essere un modo di identificare l’opposizione, ma non esaurisce estrinsecamente il significato di questa. 

2. Astrazione e fenomenologia dell’assiomatizzazione

La base spaziale è dunque imprescindibile per il concetto primordiale di “numero”. Per esso si deve dunque intendere, almeno preliminarmente – nello specifico, almeno in relazione alla classe N dei numeri naturali –, e seguendo l’approccio insiemistico cantoriano, quel concetto astratto in grado di accomunare biunivocamente elementi di diversi insiemi (anche per Courant e Robbins i numeri sono «creati dalla mente umana per contare gli oggetti di vari insiemi» e non presentano «alcun riferimento alle caratteristiche individuali degli oggetti contati»; la considerazione del numero come concetto primitivo non appare come accettabile, e questo inizia esplicitamente a porre il problema del fondamento nel discorso matematico). A rigore, il significato “astratto” sopra riportato va inteso etimologicamente come “distaccato”, ossia separato dai singoli oggetti specifici effettivamente contati o misurati a cui è originariamente riferito. L’astrazione che connota il numero è a sua volta la base della matematica, se per essa si intende l’esposizione dell’orizzonte posizionale della trasformazione numerica, ovverosia l’esposizione della dimensione che comprende la posizione dei significati (= cose significanti = determinazioni = enti generaliter) in cui consistono sia il numero sia le sue possibili trasformazioni sulla base dell’adozione di determinate regole. Solo l’esser astratto da parte del numero consente di trattarlo come entità manipolabile attraverso l’uso di alcune regole di trasformazione, tra cui le principali riguardanti l’aritmetica, ossia somma e prodotto, con le relative inverse, differenza e rapporto. La creazione stessa di nuove classi numeriche, che possono anche distaccarsi dal concetto primordiale di numero, è derivabile dalla trasformazione: se in N non sono possibili le trasformazioni a-b e a/b per ogni numero a,b∈N, la creazione di numeri interi negativi e dei razionali risolve tali problematiche; oppure, si guardi all’introduzione della classe C dei numeri complessi introdotta per la risoluzione di equazioni di terzo grado. Se gli interi negativi e i razionali possono avere ancora un’intuizione sensibile (per esempio, rispettivamente, nel conto dei debiti e nella misurazione), essa inizia a vacillare già con i numeri irrazionali (che emergono già nella geometria greca, ad esempio nella definizione di ) e, a maggior ragione, con i complessi. Qui non si sta affermando che l’utilizzo di queste classi numeriche non abbia dimostrato avere una potente applicazione sul mondo da cui esse originariamente si sono astratte (il linguaggio della matematica è il linguaggio della fisica, della chimica, della statistica), ma ciò dipende dalla constatazione che questo particolare linguaggio numerico sia in grado di mostrare un certo potere trasformativo sul mondo (sì che quest’ultima trasformazione è subordinata rispetto alle regole di trasformazione matematica di cui qui si sta discorrendo), constatazione sulla quale si tornerà nel corso di questo lavoro. L’astrazione originaria su cui si struttura il numero (l’isolamento del numero da ciò di cui esso è segno nell’“intuizione sensibile”) è ciò che consente alla matematica di sorgere, tanto che essa può tranquillamente ignorare – per il suo funzionamento interno – l’essenza di questo passo preliminare («fortunatamente il matematico, come tale, non ha bisogno di interessarsi della natura filosofica del passaggio da insiemi di oggetti concreti al concetto astratto di numero. Accetteremo perciò i numeri naturali come dati, assieme alle due operazioni fondamentali, addizione e moltiplicazione, con cui si possono combinare»), tanto che l’origine primordiale del concetto di numero può essere del tutto tralasciata nell’analisi del sapere matematico per il suo puro funzionamento. 

Si diceva, la trasformabilità numerica espressa dalla matematica si fonda sull’astrattezza del numero: 

l’agire calcolante che produce l’“esser uno”, lo isola e separa: non è un semplice distinguere l’“esser uno” dagli altri aspetti dell’ente che è uno, ma è un isolare e separare, perché il sapere matematico si propone di non far intervenire in alcun modo nel proprio calcolo alcun aspetto della dimensione da cui tale sapere si è separato, sì che rispetto al calcolo tale dimensione è intesa come totalmente ininfluente: come se non ci fosse, cioè come nulla; e questo modo di intendere non è un distinguere, ma è un separare, giacché […] il distinguere, come tale, non esclude le relazioni che sussistono tra i distinti e la loro influenza reciproca. […] Peraltro, la matematica – che non può sapere di essere isolamento dell’“esser uno”, fondato sull’isolamento delle determinazioni dal loro esser ente […] – produce e si tiene dinanzi “questo uno”, solo in quanto, da un lato, produce gli altri numeri (“quest’altro uno”, e “quest’altro ancora”, e ancora altri “quest’altro”, ognuno dei quali è un “questo uno” – e poi tutte le altre specie di numero) e, dall’altro, in quanto “opera” in vari modi su questa molteplicità di unità, trasformandola.

Le regole secondo le quali questa trasformazione avviene sono le cosiddette operazioni fondamentali, che per l’aritmetica sono appunto la somma e il prodotto. Esse sono leggi poste, ovvero definite, che hanno particolari proprietà in base alle caratteristiche intrinseche che vengono associate al numero come oggetto della trasformazione. Per esempio, nell’assiomatizzazione di Peano, che definisce la classe N-0 basandosi sui concetti primitivi di numero, funzione successore e 1 (ferma restando la loro estensione alla classe N che include 0, dove dunque 0 è il terzo concetto primitivo), la somma e il prodotto di numeri naturali vengono definite in un certo modo e hanno certe proprietà (commutazione, associazione e distribuzione) proprio in virtù di quei particolari assiomi e dei concetti primitivi che li sorreggono. 

Le teorie di Frege e Cantor consentono di risolvere il problema della presenza dei concetti primitivi ricorrendo a un livello inferiore, dando le definizioni di numero naturale e di operazioni fondamentali dell’aritmetica all’infuori di essa. Ma il problema della posizione di concetti primitivi risulta soltanto traslato, ché nella definizione cantoriana di “insieme” («ogni riunione, M, in un tutto, di determinati e ben distinti oggetti m della nostra intuizione e del nostro pensiero (i quali vengono chiamati gli “elementi” di M)») si riscontrano daccapo concetti primitivi (“riunione”, “intuizione”, “pensiero”, “tutto”, ma a rigore anche “oggetti”). Anche il tentativo di ridurre la teoria degli insiemi di Cantor (e quindi, di conseguenza, l’aritmetica) alla logica operato da Russell e Whitehead nei Principia Mathematica si imbatte nello stesso problema. Nell’Introduzione del primo volume dell’opera, si legge che «il nostro sistema inizia con le “proposizioni atomiche”. Le accettiamo come datum, poiché i problemi che emergono relativamente ad esse appartengono alla parte filosofica della logica, e non sono soggetti (a ogni livello di analisi presente) ad una trattazione matematica» («our system begins with “atomic proposition”. We accept these as a datum, because the problems which arise concerning them belong to the philosophical part of logic, and are not amenable (at any rate at present) to mathematical treatment»). Le relazioni atomiche costituiscono quindi la base primitiva della costruzione teorica dei Principia, spostando nuovamente ad un ulteriore livello il suo scioglimento (per Russell e Whitehead, questo livello è la «parte filosofica della logica»). Ma si potrebbe continuare, riferendoci ad esempio ai Grundlagen der Geometrie di Hilbert: nel definire i cinque gruppi di assiomi della geometria (collegamento, ordinamento, congruenza, parallelismo e continuità) si costruisce il discorso sulla posizione di tre concetti primitivi («tre diversi sistemi di oggetti»), ossia i punti, le rette e i piani, i quali sono tra loro connessi tramite le definizioni assiomatiche. Questa tendenza ad esplicitare il sistema assiomatico di base e i concetti primitivi (questi a volte in maniera implicita, altre in maniera esplicita), risale del resto già a Euclide (si pensi al concetto primitivo geometrico di “punto”).    

Emerge, quantomeno a livello fenomenologico, il costante ricorso da parte della matematica alla posizione di un insieme di concetti primitivi e di assiomi di base per la propria costruzione, e dunque per il suo funzionamento operativo. Il compito che ci prefiggiamo di raggiungere è mostrare che questa rilevazione fenomenologica è invece una necessità, ossia: affinché ci possa essere la matematica intesa come orizzonte posizionale delle trasformazioni numeriche è necessario assumere sistemi assiomatici e gruppi di concetti primitivi, sì che il tema del fondamento della matematica è in realtà un grande malinteso, se al termine “fondamento” ci si riferisce in termini rigorosi.  

3. Costruzione: deduzione e contraddizione

Esposto quantomeno a livello “fenomenologico” il ricorso della matematica a concetti primitivi e sistemi assiomatici per il suo stesso funzionamento, si deve individuare un ulteriore aspetto cruciale. La costruzione del sapere matematico è la costruzione delle regole di trasformazione numeriche, sì che l’individuazione del modo in cui tale costruzione viene attuata riveste un’importanza strutturale nella vera e propria funzionalità della matematica. Anzi, si può dire che lo stesso funzionamento della matematica è la costruzione del suo sapere, ossia l’enunciazione e l’esecuzione delle regole di trasformazione numerica (Lolli non fatica ad affermare che «la definizione di “teorema” ovviamente è la definizione stessa della matematica»). In altre parole, si sta affermando che l’esposizione analitica dei teoremi non solo è la costruzione del sapere matematico, ma è il cuore del suo stesso funzionamento: nel calcolo, la trasformazione è lecita sotto alcune condizioni, sì che i teoremi specificano queste e le rendono applicabili. Non solo: si può affermare che la stessa esecuzione di una trasformazione numerica è intrinsecamente l’esposizione di un teorema. Ad esempio, quando nella classe N si afferma che 2+1=3 (un “semplice” calcolo), si sta implicitamente riportando – esplicitandolo tramite il suo funzionamento – un teorema che deriva (qualora non si vogliano assumere direttamente i postulati di Peano, il che è una conferma ulteriore di quanto si sta affermando) almeno dai seguenti assiomi: a) 1=s(0), b) 2=ss0, c) 3=sss0, d) ∄x:sx=0, e) x+1=s(x), f) x+0=x, dove s(x), “successivo di x”, e 0 sono concetti primitivi. Dagli assiomi a)-f) segue 2+1=3 poiché 2+1=s2=sss0=3 (da rimarcare che in questo sistema assiomatico specificato l’asserto 2+2 è indeterminato, ossia non ha significato).  

A questo punto ci si soffermi sulla posizione della dipendenza logica tra due momenti, che chiameremo momento “base” (A) e momento “inferito” (B), donde l’espressione A⊨B è da leggere “il momento base A implica il momento inferito B” (adoperando la simbologia canonica di Frege). Nel nostro esempio precedente, il momento A è il sistema di assiomi a)-f), mentre il momento B è 2+1=3. “Dipendenza logica” vuol qui dire che affermare B senza specificare la base A è insignificante, ossia non è univocamente determinabile: senza sapere cosa si intende per “1”, “2”, “3”, “+”, “=”, e senza porre delle relazioni di base tra questi significati è impossibile interpretare il semantema 2+1=3. La dipendenza logica qui richiamata è estrinsecazione della deduzione, sì che il momento inferito B è a rigore un dedotto (sì che qualsiasi teorema nella forma A⊨B è enunciabile nella forma “da A si deduce B”, oppure “A implica B”). Si noti che qui si sta considerando esclusivamente la correttezza dell’inferenza deduttiva, e non la “veridicità” del suo risultato, dimodoché l’interesse primario è l’analisi del passaggio da un piano base ad un momento dedotto. Il piano base A può essere sia il sistema di postulati di base (con i relativi concetti primitivi) sia, a sua volta, un momento dedotto, tanto che la forma B⊨C, dove B è un dedotto inferito da un precedente piano base A, è altresì possibile. 

Specificati questi aspetti, rimane da chiarire il senso dell’inferenza logica che connette deduttivamente il momento base e il dedotto. Porre il teorema A⊨B vuol dire che il momento B  non contraddice il momento A (ossia, che B≠¬A), il che equivale ad affermare che, posto A⊨B, da A non si deduce ¬B. Difatti, la situazione A⊨B=¬A implica necessariamente che A è autocontraddittorio, ossia autonegantesi (nel caso in cui A sia un sistema di postulati, si ha la situazione in cui uno o più postulati si contraddicono a vicenda: se A è autocontraddittorio allora A⊨¬A, in quanto l’unica inferenza deduttiva corretta è appunto la rilevazione dell’autocontraddittorietà di A). Qualsiasi teorema facente parte del sapere matematico può essere dimostrato ab absurdo, ossia mostrando che, se A⊨B, allora ¬B⊨¬A (donde si dice che si raggiunge “l’assurdo”, la negazione del momento base, provando il demonstrandum). Inoltre, l’asserto logico A⊨B vuol dire che il momento base A posto in mancanza della posizione del momento dedotto B presenta una mancanza, o meglio, si pone in quanto astratto, essendo B in sintesi con il momento base (ovvero, porre A senza porre B vuol dire porre A come astratto, e porre B senza porre A vuol dire porre un significato indeterminato, o, che è lo stesso, insignificante).

Precedentemente, si è affermato che «nel calcolo, la trasformazione è lecita sotto alcune condizioni». A questo punto, si può facilmente notare che questa “liceità” sulla quale le trasformazioni matematiche vengono effettuate è appunto il non esser contraddittori da parte dei risultati di tali trasformazioni. Una trasformazione è lecita (e quindi la si può costituire e adoperare) se essa non porta ad una contraddizione, ovvero se essa è una regola di manipolazione numerica tale per cui il dedotto B non è esplicitazione della negazione del suo campo mediazionale A. La coerenza della teoria (la sua impossibilità di dedurre dal sistema assiomatico di base un asserto contraddittorio) è richiesta – o meglio: posta come necessaria – in quanto si vuole che il risultato della trasformazione numerica sia univocamente determinato. Se non si ponesse la coerenza, allora a partire da un determinato sistema assiomatico si potrebbe dedurre, ad esempio, che 2+1=3 e che 2+1=2, ponendo 3≠2 come esplicitato. A riguardo, Meschkowski scrive che «ciò che ad esempio viene premesso come evidente nella logica matematica […], è il fondamento per un procedimento dimostrativo non contraddittorio in sé. A ciò non si può rinunciare, se non si vuole che ogni “comunicazione” divenga priva di senso». 

Il riduzionismo della teoria degli insiemi di Cantor, confluito poi nel logicismo di Frege, Russell e Whitehead, ha tentato di strutturare un sistema formale logico-matematico di assiomi da cui era impossibile dedurre contraddizioni (ovvero la situazione A⊨B∧¬B) e che quindi, al contempo, racchiudesse l’intero edificio del sapere matematico, non soltanto già noto, ma anche futuro. Proprio questi tentativi fallirono dimostrando la possibilità di generare da un processo inferenziale corretto alcuni asserti contraddittori (si pensi ai paradossi di Burali-Forti e di Russell). 

Il problema consisteva nel tentare di dimostrare la coerenza della matematica (almeno limitatamente a metodologie finite), in quanto accettare che la costruzione della trasformazione numerica portasse a delle contraddizioni sarebbe equivalso all’ammissione dell’impossibilità di enunciare asserti significanti nel linguaggio astratto matematico. Nelle parole di Hilbert: «Il presente stato di cose in cui ci siamo imbattuti contro i paradossi è, dichiaratamente, intollerabile. Si rifletta: le definizioni e i metodi deduttivi che tutti imparano, insegnano e usano nella matematica, il paragone di verità e certezza, portano ad assurdità! Se il pensiero matematico fallisce, dove mai possiamo trovare verità e certezza?». I teoremi di incompletezza di Gödel – nella forma ampliata presentata successivamente da Rosser – si presentano come un passaggio determinante relativamente all’esigenza esplicitata da Hilbert. Il primo teorema afferma che una teoria matematica A coerente derivata da un determinato sistema assiomatico e contenente l’aritmetica presenta almeno un asserto indecidibile, ossia che né né la sua negazione ¬β possono essere provati all’interno delle trasformazioni facenti parte di A. Il discorso è ricorsivo: qualora si ponesse l’asserto indecidibile come nuovo assioma di A, il problema si ripropone con un ulteriore asserto indecidibile e così via. Il secondo teorema, quasi un corollario del primo, afferma che la coerenza di una teoria assiomatizzata A che contiene l’aritmetica non può essere provata usando le trasformazioni strutturabili all’interno di A stessa. L’interesse da riporre in questi metateoremi risiede nel fatto che essi sanciscono (sia chiaro: sempre in una formalizzazione assiomatica-deduttiva) una sorta di limitazione al processo inferenziale del linguaggio astratto assiomatizzato della matematica, sancendo la possibilità da parte del formalismo assiomatico della matematica di imbattersi in una contraddizione («il tentativo di Hilbert di dimostrare l’incontraddittorietà del sistema assiomatico in cui viene formalizzata l’aritmetica fallisce di fronte alla dimostrazione di Gödel della impossibilità di operare un controllo siffatto della contraddizione, sulla base delle regole di formazione e trasformazione del sistema»).    

4. La matematica come negazione del fondamento (la matematica è una fede)

Come si è avuto modo di constatare, lo sviluppo della teoria matematica si fonda sull’astrazione e sul funzionamento della procedura assiomatico-deduttiva. Questo era già noto a Platone. Alla fine del libro VI della Repubblica, si legge che 

coloro che si occupano di geometria e di calcoli e di cose simili a queste, avendo presupposto [ὑποθέμενοι] per ciascuna ricerca il dispari e il pari, le figure geometriche, le tre forme degli angoli e altre cose affini a queste, come se le considerassero evidenti [ταῦτα μὲν ὡς εἰδότες], rendendole delle ipotesi [ὑποθέσεις], e inoltre intorno a queste non si degnano di dar alcun genere di spiegazione né a queste né ad altre cose, come fossero assolutamente evidenti, e a partire da queste, esponendo già tutto il resto, porteranno a compimento senza intoppi ciò che dapprima avrebbero voluto dimostrare. 

Il ricorso al riduzionismo – ossia, la costatazione che un orizzonte semantico possa essere del tutto ricondotto a uno inferiore – (prima dalla geometria all’analisi infinitesimale, da questa all’aritmetica, e poi infine alla teoria degli insiemi e alla logica) operato nel tentativo di porre una solidità al sapere matematico è esso stesso indice della rilevata impossibilità di trovare tale solidità. Difatti, il grande tema del fondamento della matematica all’inizio del secolo ventesimo che si costruisce come un’operazione riduzionista culminante nei Principia mathematica di Russell e Whitehead, ha in sé medesima già il germe del suo fallimento, non in quanto individuazione particolare dell’atteggiamento riduzionista non avente per ragioni esogene il successo sperato, ma in quanto il riduzionismo tout court non può portare costitutivamente alla definizione del fondamento, poiché esso è affermazione e al tempo stesso negazione dell’opposizione di due ambiti semantici, e dunque contraddittorio a priori. Nella consapevolezza che questo asserto può essere compreso appieno solo con il prosieguo del presente paragrafo, si evidenzi per maggiore chiarezza che il riduzionismo praticato nella teoria matematica – poniamo quello logico di Frege e Russell – soffre degli stessi problemi di cui soffre il riduzionismo biologico o teologico: se (l’aritmetica, la funzione digestiva, il mondo) è completamente riducibile a (la logica, l’apparato digerente, Dio), allora non annovererebbe alcuna novità rispetto ad , e non si vede il motivo per cui esso debba costituirsi come un qualcosa di differente rispetto ad : se si pone la differenza tra e , e dunque la si riconosce, allora vi sarà necessariamente una parte di che non è riducibile ad . Del resto, in questa dinamica riduzionista compiuta dal pensiero matematico, il punto di arresto viene rappresentato dai teoremi di Gödel, la cui struttura non fa altro che confermare il contrario, ovvero la necessità di ricorrere ad un sistema più ampio per poter dimostrare la completezza di una teoria matematica includente l’aritmetica, e così il processo sopra descritto si sviluppa necessariamente ad indefinitum, con l’impossibilità di arrestarsi ad un sistema assiomatico in grado di includere tutto il sapere matematico.

Ma proprio la natura di questa “solidità” di cui si sta parlando deve essere scrutata più da vicino, ché difatti è ciò che rappresenta il perno del discorso. Il piano base posto come partenza della costruzione inferenziale-deduttiva del sapere matematico è un piano assiomatico, ossia ipotetico. Innanzitutto, “assioma” e “ipotesi” sono intesi come equivalenti: non si considera l’ipotesi nel suo significato scientifico (asserto da confermare o refutare attraverso la sperimentazione), in quanto la matematica non è scienza – e non è difficile riconoscerlo stando a quanto detto precedentemente. L’ipotesi, per la matematica, è dunque il postulato, o l’insieme di postulati, posto come evidente, ossia, ritenuto valido a priori (difatti, la struttura del teorema A⊨B è di per sé stessa ipotetica: se A, allora B). Tale validità non ha alcun riferimento al mondo sensibile da cui la matematica si è primariamente astratta, in quanto il sistema assiomatico deve solo esser tale da fornire delle regole di trasformazione che non conducano alla contraddizione. Il valore del sistema assiomatico è dunque un valore puramente arbitrario, voluto: il postulato è un asserto che si decide di far valere come anapodittico, ma che non mostra in sé la sua anapoditticità. E non per un difetto decisionale (si potrebbe obbiettare che scegliendo in una certa maniera un certo sistema di assiomi si potrebbe pervenire a uno ottimale, in grado di imporsi per sé come anapodittico), ma per sua essenza intrinseca.

L’ipotesi (ὑπόθεσις), “ciò che si pone come base”, è quindi costitutivamente un assioma (ἀξίωμα), qualcosa che “si pone come conveniente”, che “si chiede che abbia valore perché lo si vuole” (postulatum):

Per mezzo di una pura definizione logica del concetto di numero, si volevano creare dei punti di partenza per deduzioni assolutamente rigorose, capaci di ricondurre le verità dell’aritmetica a quelle più profonde della logica. Orbene, ciò che trae in inganno in tutto questo è proprio l’espressione “fondare l’aritmetica”: essa ci induce a credere che l’edificio di tale scienza si elevi su qualche gruppo di verità assolute ed eterne, mentre di fatto l’aritmetica è un puro e semplice calcolo che proviene esclusivamente da alcune convenzioni, e come il sistema solare né sospeso né fondato su nulla. La conclusione che se ne può trarre è la seguente: noi possiamo descrivere l’aritmetica, cioè indagare le sue regole, ma non fondarla. Che, del resto, il metodo di fondare un’idea su di un’altra non possa sempre bastarci, risulta già da questa semplice considerazione: esso deve pure in qualche punto finire, rimandandoci a qualche idea che non può a sua volta venir fondata proprio su nulla. L’ultima base è costituita unicamente dalla postulazione. Tutto ciò che ha l’aspetto di una fondazione, contiene già qualcosa di falso, e non può accontentarci.

Si può concordare, soltanto però relativamente al sapere matematico – e qualsiasi altro sapere che non sia l’esposizione, appunto, del fondamento –, e non in termini generali (cosa a cui Waismann sembra invece alludere: «tutto ciò che ha l’aspetto di una fondazione, contiene già qualcosa di falso»). La grande discussione degli ultimi due secoli sul fondamento della matematica è in realtà, in termini rigorosi, una contraddizione, quando si debba intendere il termine “fondamento” nella sua pura essenza. Oppure, parlare del “fondamento della matematica” vuol dire riflettere sulla natura di alcune ipotesi scelte come momento base del processo deduttivo, sul campo di estensione della loro validità e sulla loro potenzialità di generare una semantica trasformatrice più o meno ampia rispetto ad altre, ma allora ciò significherebbe aver già chiaro l’abuso del significato “fondamento”, e la relazione tra questo e la matematica non si pone nemmeno – o, se si pone, la si pone almeno implicitamente come già risolta (nel senso che si sta qui per chiarire). Oppure, ancora, tale relazione viene tralasciata poiché si reputa che il tema del fondamento autentico sia insussistente o privo di senso; ma la stessa posizione dell’insussistenza del fondamento si rivela insignificante poiché espressione triviale dell’argomento scettico (l’asserto “non esiste fondamento” si erge a sua volta come fondamento, altrimenti riconosce di essere esso stesso un assioma; ma l’insignificanza di tale posizione verrà motivata da quanto segue). 

I pitagorici vollero intendere la matematica – e il numero principalmente – come fondamento del tutto (ἀρχή πάσης τῆς φύσεως), avendo chiaro il senso del fondamento ma non la sua struttura, e ciò ha precluso loro la capacità di aver dinanzi l’impossibilità di porre il numero e la sua trasformazione come fondamento. Nel primo paragrafo del seguente saggio però si è accennato alla posizione dell’opposizione come connessa al tema del fondamento. Ora si afferma – per quanto in questa sede si sia in grado di esporre – che la posizione dell’opposizione è il primo certo anapodittico, ovvero: il fondamento (l’immediato, in quanto non mediato da alcunché, ma momento base dell’intero edificio gnoseologico-esistenziale) è l’apparire (la “posizione”) dell’opposizione tra positivo e negativo, dove per positivo si intende l’essere (tutto l’essere: intero formale e singola determinazione, parte dell’intero) e per negativo il non essere (negativo speciale – non essere relativo – e negativo generale – nulla, nihil absolutum), sì che il significato dell’opposizione è il significato autentico del principio di non contraddizione, inteso dunque non solo come regola del pensare, ma anche come regola immediata ed eterna dell’esistere: «τὸ γὰρ αὐτὸ νοεῖν ἐστίν τε καὶ εἶναι». 

Dell’immediato si predica ciò che Aristotele afferma del principio di non contraddizione trattandolo in senso astratto (astratto cioè dal semantema concreto “apparire immediato dell’opposizione”): esso è l’assolutamente necessario, il non ipotetico («ἀνυπόθετον», «τοῦτο οὐχ ὑπόθεσις»), e non perché la sua non-ipoteticità sia posta come voluta, ma poiché essa stessa si pone da sé necessariamente, e non potrebbe essere altrimenti. È questo il senso profondo dell’ἔλεγχος che spetta al fondamento: la negazione esplicita del fondamento è la sua accettazione implicita, «ἀναιρῶν γὰρ λόγον ὑπομένει λόγον». Come Severino afferma, 

nel suo manifestarsi, cioè, l’essere viene incontro dominato dalla legge che lo oppone al non-essere; in ogni suo manifestarsi: sia nella verità, sia nella non-verità – e quindi anche in quella forma emergente di non-verità, che è la negazione esplicita della verità. L’opposizione è fondamento, nel senso che è ciò senza di cui non si costituirebbe, o esisterebbe alcun pensiero, alcun discorso. Fonda anche la propria negazione: ma, appunto, non nel senso che la faccia essere valida, che ne fondi il valore, bensì nel senso che se la negazione non ponesse alla propria base l’opposizione (ossia non opponesse la propria positività significante a ogni altro significare), non esisterebbe nemmeno. Esiste, solo se afferma ciò che nega. Negando, quindi, nega il proprio fondamento, nega ciò senza di cui non sarebbe (o, che è il medesimo, non sarebbe significante): nega se medesima. […] L’ἔλεγχος è appunto l’accertamento di questo autotoglimento della negazione, ossia è l’accertamento che la negazione non esiste come negazione pura, ossia come negazione che non abbia bisogno, per costituirsi, di affermare ciò che nega. 

Ciò che è stato qui esposto è sufficiente per delineare il risultato che si vuole raggiungere. La matematica non è l’esposizione del fondamento nella sua autenticità, in quanto essa non è posizione dell’apparire immediato dell’opposizione, e dunque gli asserti che competono a tale sapere non sono incontrovertibili, ossia non sono in grado di mostrare che la loro negazione è autonegazione (inapplicabilità dell’ἔλεγχος). Intendendo per “verità” l’incontrovertibile, ciò la cui negazione è esplicitamente negazione ma implicitamente affermazione del fondamento, essa non concerne la matematica, poiché l’incontrovertibilità si predica necessariamente ed unicamente al fondamento e ai suoi momenti mediati (alle sue implicazioni). 

Andando nel dettaglio di questa rilevazione, si può quindi affermare che qualsiasi sistema assiomatico scelto come piano base della strutturazione matematica non è fondamento, e dunque non può esibire la propria incontrovertibilità, e infine non è vero, ma falso, se a quest’ultimo termine si dà il senso della controvertibilità. Per mostrar questo, si consideri qualsiasi sistema assiomatico e lo si ponga come fondamento al fianco del fondamento come sopra presentato, il quale verrà indicato come F, sì che e F convivono come due fondamenti (dunque: coesistenza di più fondamenti; l’argomento è estendibile ad una serie indefinita ii=1+∞ di sistemi assiomatici differenti contemporaneamente posta). A questo punto, o è F oppure non lo è, ossia è diverso, gli si oppone per una qualsivoglia determinazione, dunque questa diversità è appunto un’opposizione, la quale è però posta da F stesso. Quindi, si struttura fondandosi su F in quanto diverso da F, ma al contempo è un’individuazione particolare della negazione di F, poiché essendo diverso da F esso non è l’apparire immediato dell’opposizione, e dunque nega F (esplicitamente), ma differenziandosi da F, ossia opponendoglisi, afferma F (implicitamente).  E naturalmente, il ragionamento è analogo quando si pone come fondamento al posto di F (“F non è fondamento”).  

Ciò non vuol dire che un piano base del tipo diverso da F non comporti un’espansione mediazionale di tipo inferenziale-deduttivo, come si è avuto modo di constatare per la matematica. Difatti, la procedura deduttiva rappresenta per sé una coerenza interna che non dipende dall’incontraddittorietà, ovvero manifestazione dell’autonegazione della negazione del piano base della mediazione (come si è mostrato sinteticamente in precedenza in questo lavoro). Ma ora siamo anche in grado di sciogliere compiutamente questo rapporto tra correttezza e veridicità del processo inferenziale. La deduzione è sì indipendente dalla veridicità del piano base da cui essa prende le mosse, ma se quest’ultimo è falso, il momento dedotto sarà appunto l’esplicitazione di questa falsità, dando al termine “verità” ciò che in questa sede è stato espresso come incontrovertibilità. Qualsiasi sistema logico-deduttivo che ponga come piano base originario una struttura diversa dal fondamento F è dunque falso, in quanto negante F stesso, e perciò è – a rigore – un sistema logico ipotetico-deduttivo, convenzionale, o se si vuole, fede. Ciò implica la sussistenza di due livelli di coerenza: il primo grado è la coerenza autenticamente intesa, ossia riferentesi al fondamento F e ai suoi momenti inferiti; il secondo grado identifica una coerenza puramente deduttiva, cioè una correttezza del processo deduttivo generato da un sistema assiomatico differente da F. In questo schema appena delineato, una teoria matematica è sempre incoerente di primo grado, in quanto non è mai per sé posizione del fondamento F, ma può essere coerente di secondo grado, ossia può essere un insieme di deduzioni corrette generate da un piano base assiomatico assunto convenzionalmente (e dunque, proprio in quanto assiomatico, di per sé stesso sempre incoerente di primo grado: una dimensione posizionale differente da F è sempre incoerente di primo grado ma può essere o meno coerente di secondo grado).  

Il sapere matematico, come qualsiasi altra struttura semantica differente dalla posizione di F e del suo sviluppo mediazionale, è una fede – dunque un sapere incoerente di primo grado –, non diversa dal punto di vista dell’essenza da quella religiosa (rappresentando le religioni esempi notevoli di queste strutture semantiche). Ciò che importa è definire “fede” qualsiasi orizzonte posizionale che non è in grado costitutivamente di mostrare l’autocontraddittorietà del proprio contraddittorio, e quindi qualsiasi dimensione diversa dal fondamento e dai suoi dedotti. Se gli asserti del sapere matematico sono differenti da quelli, poniamo, del κήρυγμα cristiano, questa differenza è puramente formale e non essenziale, essendo queste dimensioni semantiche due negazioni particolari e diversamente articolate del fondamento, e dunque due fedi. E questo con buona pace di ampie falde del senso comune che ritengono la matematica (e la scienza più in generale, come si sta per mostrare) e i saperi religiosi come dimensioni posizionali per essenza differenti, se non diametralmente opposte. Essi, sì differenziati, sono entrambi negazioni particolari del fondamento, e quindi condividono l’insignificanza che spetta a qualsiasi sapere che non sia l’esplicitazione del fondamento e delle sue implicazioni. 

5. Instrumentum

Si ricapitolino i risultati enunciati fino a questo punto. La matematica, intesa come orizzonte delle trasformazioni numeriche, si basa sull’astrazione ed è un sapere ipotetico-deduttivo, ossia non è posizione del fondamento, e quindi rappresenta una sua negazione particolare. In questo risiede l’esser fede da parte della matematica: non essendo esposizione del fondamento e dei suoi momenti dedotti, essa è un orizzonte semantico puramente convenzionale e contraddittorio, dando a quest’ultimo termine il significato che gli spetta nell’analisi del fondamento, ossia incoerenza di primo grado (pur potendo contenere al suo interno orizzonti posizionali coerenti di secondo grado, ossia dedotti correttamente dal sistema assiomatico posto per convenzione come momento base dell’inferenza). L’interrogarsi sul “fondamento della matematica” dunque si riduce alla scelta convenzionale di assiomi e regole più o meno in grado di consentire una certa espansione internamente coerente di questo sapere astratto.

Ora, l’insignificanza del sapere matematico non si pone in contrapposizione alla costatazione che tale sapere abbia mostrato una vasta applicazione nella descrizione scientifica del mondo. Ciò vuol dire che l’uso della matematica da parte della scienza non è un fattore che depone a favore dell’autenticità del sapere matematico, ossia del suo porsi a fondamento. È ormai evidente l’uso massiccio della matematica in tutte le specializzazioni del sapere scientifico, dalla fisica alla medicina, dall’economia alle scienze sociali, senza dimenticare la propulsione fondamentale che tale sapere ha impresso per la nascita e lo sviluppo dell’informatica, nonché il vasto impiego nelle applicazioni ingegneristiche. In alcuni casi, l’uso della matematica si è mostrato centrale per lo stesso sviluppo scientifico. Si pensi alla fisica: il calcolo infinitesimale ha consentito non solo la trascrizione, ma anche lo stesso avanzamento della meccanica classica a partire da Newton e Eulero; ancora: il calcolo tensoriale sviluppato da Ricci-Curbastro è la base dell’elaborazione teorica della relatività generale einsteiniana (nella fisica ormai l’utilizzo della matematica è pilastro di ogni branca, e gli esempi si potrebbero moltiplicare). Walras e Pareto, seguiti da Marshall, hanno introdotto la teoria degli insiemi e l’analisi nella descrizione delle teorie dell’equilibrio economico generale, dando inizio ad un larghissimo uso della matematica nella scienza economica (esempi mirabili sono le teorie di ottimizzazione vincolata e la teoria dei giochi). Nelle scienze chimiche e biologiche, la trascrizione matematica è divenuta la base dello sviluppo teorico (si pensi alla chimica matematica e alla chimica computazionale). Infine, l’informatica moderna è una vera e propria figlia del calcolo matematico, in particolar modo quello binario. 

Non solo: la teoria matematica è il pilastro della fase empirica per la corroborazione o falsificazione delle ipotesi nelle scienze empiriche. Tale fase è difatti prettamente statistica, il quale impianto teorico – specialmente riguardo il ramo inferenziale – ha ottenuto impulso dalla evoluzione della teoria della probabilità, che a sua volta è dovuta all’adozione della trascrizione matematica (si pensi al lavoro svolto da Bernoulli ne l’Ars Conjectandi fino alla teoria assiomatica di Kolmogorov, ma anche agli approcci bayesiani e di De Finetti). 

Alla base di tutto ciò, vi è nuovamente l’astrazione numerica su cui si articola la matematica, astrazione che comporta la possibilità di considerare questo sapere come un vero e proprio linguaggio. Ben noto che per Galilei il «libro» dell’«universo», ossia la natura, «è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quai mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto». Ciò che per Galilei appare evidente ed indiscutibile, è in realtà, nuovamente, il frutto di una convenzione: la matematica è adottata come linguaggio universale dell’agire scientifico perché emerge la costatazione che, tramite la trasformazione matematica, la possibilità operativa della scienza è notevolmente ampliabile. Si analizzi quanto appena detto nei seguenti punti.

• Essendo astratto, l’ente matematico può essere considerato come signum da associare ad un particolare designatum, sì che sia i numeri sia le trasformazioni costruite dalla teoria matematica possono essere segni di enti non matematici e delle loro trasformazioni, oggetto di analisi delle varie scienze particolari. Il linguaggio infatti, basandosi sull’apparire dell’ente (il designatum), associa ad esso un signum. Solo in quanto astratto – quindi, libero, non legato convenzionalmente già ad una specifica dimensione dell’apparire all’infuori di esso – l’ente matematico può essere legato a posteriori ad un ente non matematico.
• Il linguaggio matematico, proprio in quanto regolato da alcuni gruppi di assiomi convenzionalmente adottati ed esprimente leggi di trasformazione riconoscibili e univocamente determinate all’interno di uno specificato sistema assiomatico (e dunque, universalmente accettato, o quantomeno riconoscibile), esprime una maggior potenza designatrice di un “linguaggio naturale”, il quale non solo è più incline a presentare frequenti ambiguità, ma è meno efficiente: a livello operativo, definire la legge di gravitazione universale come F=-Gm1m2r2r una volta chiarite le associazioni di ogni signum ad ogni designatum (F designa la “forza”, G la “costante di gravitazione universale” e così via), e una volta specificato il piano assiomatico della teoria matematica adottata (in questo caso l’analisi vettoriale), è più efficiente di enunciarla attraverso un “linguaggio naturale”. Ed è più efficiente anche studiarne le implicazioni e le successive applicazioni.
• La matematica è quindi la forma della conoscenza scientifica. Nel suo esser linguaggio, essa non solo è promotrice di maggior potenza ed efficienza per una migliore comunicabilità dei processi e dei risultati, ma, come si è accennato in precedenza, rappresenta anche una maggior potenza ideatrice nel processo che può condurre alla formulazione di ipotesi, poi da verificare empiricamente (di nuovo, attraverso il linguaggio matematico della statistica).
• Il precedente punto deve però esser meglio scrutato. La maggior potenza da parte del linguaggio matematico rispetto ad altre forme di linguaggio è una costatazione: ciò vuol dire che a) tutte le conoscenze scientifiche sono potenzialmente enunciabili in linguaggi differenti rispetto a quello matematico, e b) qualora emergesse un linguaggio reputato più potente di quello matematico, nulla impedisce la sua sostituzione. Ciò dipende dal fatto che, essendo un linguaggio, la scelta della matematica come instrumentum della scienza è appunto una convenzione, adottata per motivi di efficienza, applicabilità e reciproca riconoscibilità; o meglio, ritenuto più efficiente, più applicabile e meglio riconoscibile reciprocamente rispetto ad altre forme linguistiche. Ma appunto, ciò rimane una pura convenzione, e come tale non è ascrivibile ad un nesso necessario. La matematica è quindi il linguaggio della scienza non perché è necessario che essa lo sia, ma poiché si attesta una maggiore operatività nel suo uso rispetto ad altri possibili linguaggi.
• La costatazione della potenza del linguaggio matematico è connessa alla costatazione della potenza scientifica sul mondo ottenuta adottando tale linguaggio. In altre parole: si costata che la scienza riesce a trasformare il mondo in maniera maggiore adottando un linguaggio matematico rispetto ad altri linguaggi. Ma, si chiarisca, a questa rilevazione è sottesa la rilevazione delle potenza della scienza stessa. Se non apparisse in prima battuta la capacità trasformatrice – dunque, la potenza – della conoscenza scientifica non potrebbe manifestarsi la costatazione che tale capacità è avvenuta contestualmente all’adozione della formalità matematica rispetto ad altri modi di formalizzazione.
• Ciò si articola in un ulteriore aspetto da sottolineare: la potenza dell’agire scientifico sul mondo è un qualcosa di attestato, non di incontrovertibile (esso appare, ma non appare la sua incontrovertibilità). Qualora apparisse una dimensione posizionale non scientifica che attestasse una maggior potenza trasformatrice sul mondo, la scienza potrebbe essere sostituita. Questo deriva dal fatto che qualsiasi asserto scientifico (inclusa la sua “manifesta” potenza trasformatrice) non fa parte del fondamento e dei suoi mediati, dunque non è incontrovertibile.

La caratterizzazione del sapere matematico come fede – ossia, negazione particolare del fondamento – non solo non è smentita dalla formalizzazione matematica da parte della scienza, come si è detto all’inizio di questo paragrafo, anzi, ciò che qui si sta dicendo è che tale formalizzazione è consentita proprio poiché la dimensione matematica è negazione particolare del fondamento. La matematica si manifesta come linguaggio di una particolare interpretazione del contenuto dell’apparire, ossia l’interpretazione scientifica, poiché, essendo negazione particolare del fondamento, ad essa non compete ciò che spetta al fondamento, ossia: il fondamento non è (e non può essere usato come) un linguaggio, in quanto esso non è un sistema di signa che indica vari designata. All’opposto, esso è la struttura immediata del designatum in quanto significato che appare, ossia l’apertura del significare stesso (il significato del significare). Indubbiamente si pone un interessante sviluppo teoretico tra il fondamento e il linguaggio che espone il fondamento, ma il fatto che il fondamento (il designatum) venga esposto tramite un linguaggio (il signum) non equivale a qualificare il fondamento come signum di un designatum che eccede il fondamento medesimo.